Il libro di fisica: volume 2

Di Simone Malacrida

In questo libro si ripercorre la grande storia delle scoperte fisiche, partendo dalla rivoluzione scientifica di Galileo e Newton fino ad arrivare alla fisica di oggi e del prossimo futuro.
La comprensione della fisica è affrontata sia dal punto di vista teorico, esponendo le definizioni di ogni particolare settore e le assunzioni alla base di ogni teoria, sia a livello pratico, andando a risolvere oltre 350 esercizi relativi a problemi fisici di ogni sorta.
L'approccio alla fisica è dato da una conoscenza progressiva, esponendo i vari capitoli in ordine logico di modo che il lettore possa costruire un percorso continuo nello studio di tale scienza.
L'intero libro è suddiviso in cinque distinte sezioni: la fisica classica, le rivoluzioni scientifiche avvenute all'inizio del Novecento, la fisica del microcosmo, quella del macrocosmo ed infine i problemi attuali che sono il punto di partenza per la fisica del futuro.
Lo scritto si pone come opera omnicomprensiva riguardo la fisica, non tralasciando alcun aspetto delle molteplici sfaccettature che essa può assumere.

• Lingua: Italiano
• Editore: Simone Malacrida
• Data di uscita: 4 dic 2022
• ISBN: 9798215477076

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Anteprima del libro

Il libro di fisica

SIMONE MALACRIDA

In questo libro si ripercorre la grande storia delle scoperte fisiche, partendo dalla rivoluzione scientifica di Galileo e Newton fino ad arrivare alla fisica di oggi e del prossimo futuro.

La comprensione della fisica è affrontata sia dal punto di vista teorico, esponendo le definizioni di ogni particolare settore e le assunzioni alla base di ogni teoria, sia a livello pratico, andando a risolvere oltre 350 esercizi relativi a problemi fisici di ogni sorta.

L’approccio alla fisica è dato da una conoscenza progressiva, esponendo i vari capitoli in ordine logico di modo che il lettore possa costruire un percorso continuo nello studio di tale scienza.

L’intero libro è suddiviso in cinque distinte sezioni: la fisica classica, le rivoluzioni scientifiche avvenute all’inizio del Novecento, la fisica del microcosmo, quella del macrocosmo ed infine i problemi attuali che sono il punto di partenza per la fisica del futuro.

Lo scritto si pone come opera omnicomprensiva riguardo la fisica, non tralasciando alcun aspetto delle molteplici sfaccettature che essa può assumere.

INDICE ANALITICO

PARTE SECONDA: LE RIVOLUZIONI DI INIZIO NOVECENTO

13 - FISICA QUANTISTICA

La soluzione di Planck per lo spettro del corpo nero

La soluzione di Einstein per l effetto fotoelettrico

Il modello di Bohr

Nuove scoperte: effetto Compton

La soluzione di De Broglie per il dualismo onda-particella

Young e le due fenditure

La meccanica quantistica secondo Schrodinger

La visione probabilistica

Le novità rispetto alla meccanica classica

Le soluzioni

Evoluzione operatoriale e principi di indeterminazione

Esercizi a livello universitario

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14 - TEORIA DELLA RELATIVITA RISTRETTA

Il concetto di relatività secondo Galileo

La visione di Newton

La soluzione di Einstein

Rivisitazione della meccanica classica

Lo spazio-tempo

Conseguenze

Esercizi a livello universitario

PARTE TERZA: FISICA DEL MICROCOSMO

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15 - FISICA DELLA MATERIA

Classificazioni e suddivisioni

Fasi condensate di altro tipo

Approccio semiclassico

Fisica dello stato solido

Fisica dello stato solido: strutture cristalline

Magnetismo

Fisica dei semiconduttori

Fisica dei plasmi

Fisica dei laser

Esercizi a livello universitario

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16 - FISICA CHIMICA

Diffusione in fisica chimica

Strutture fisico-chimiche: le superfici

Strutture fisico-chimiche: i difetti

Fenomeni fisico-chimici: le decomposizioni

Fenomeni fisico-chimici: la crescita

Tecnologie fisico-chimiche: interazione onde-materia

Tecnologie fisico-chimiche: spettroscopia

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17 - TEORIA QUANTISTICA DEI CAMPI

Dirac e la meccanica quantistica relativistica

Definizione rigorosa della meccanica quantistica

Dalla meccanica quantistica alla teoria quantistica dei campi

Elettrodinamica quantistica

Esercizi a livello universitario

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18 - FISICA NUCLEARE

Atomo e nucleo

Esperimento e atomo di Rutherford

Neutroni e antimateria

Decadimenti, nuove particelle e nuove interazioni

Modelli nucleari

Altri decadimenti

Gli esperimenti di Fermi e la fissione nucleare

Esercizi a livello universitario

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19 - FISICA DELLE PARTICELLE E DELLE INTERAZIONI

Nuove particelle

I quark e la classificazione delle particelle

Numeri quantici e leggi di conservazione

La teoria dei gruppi

Interazione elettrodebole

Gli esperimenti del CERN

La cromodinamica quantistica

Esercizi a livello universitario

PARTE QUARTA: FISICA DEL MACROCOSMO

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20 - TEORIA DELLA RELATIVITA GENERALE

Introduzione

Matematica tensoriale

Teoria della relatività generale

Conferme sperimentali

Esercizi a livello universitario

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21 - ASTRONOMIA

Le distanze astronomiche

Magnitudini e spettri

Altre misure

Strumenti di rilevazione astronomica

Il Sistema Solare

Pianeti e satelliti

Altri oggetti celesti del Sistema Solare

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22 - ASTROFISICA

Classificazione ed evoluzione delle stelle

Equazioni e processi stellari

Nascita e morte di una stella

Galassie, ammassi e superammassi

Evoluzione delle galassie

Altri oggetti celesti

Cosmogonia

Esercizi a livello universitario

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23 - COSMOLOGIA

Principio cosmologico

Red shift

Legge di Hubble

Recessione delle galassie

Introduzione alla cosmologia newtoniana

Modelli cosmologici newtoniani

Densità critica e densità effettiva

Evoluzione nel caso newtoniano

Introduzione alla cosmologia relativistica

La curvatura dello spazio-tempo

Fattore di scala e metrica

Densità di materia-energia e pressione

Problema della piattezza

Problema dell orizzonte

Modelli di De Sitter e di Lemaitre

Teoria del Big Bang e dello stato stazionario

Termodinamica cosmologica

Ere cosmologiche

Primi modelli sulle galassie

Materia oscura

Esercizi a livello universitario

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24 - FISICA DEI BUCHI NERI

Collasso gravitazionale

Geodetiche

Metrica di Schwarzschild

Coordinate di Kruskal e spaziotempo

Diagrammi di Carter-Penrose

Orizzonte degli eventi

Singolarità nude

Buchi neri carichi elettricamente

Metrica di Reissner-Nordstrom

Orizzonte di Cauchy

Coordinate isotrope

Buchi neri rotanti: teorema di unicità

Soluzioni di Kerr

Ergosfera

Il processo di Penrose

Energia e momento angolare

Congruenze geodetiche

Le leggi della meccanica dei buchi neri

Quantizzazione di un campo scalare

Produzione di particelle

La radiazione di Hawking

La termodinamica dei buchi neri

PARTE QUINTA: I PROBLEMI ODIERNI E LA FISICA DEL DOMANI

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25 - TENTATIVI DI UNIFICAZIONE

La grande teoria unificata (GUT) e il Modello Standard

Il Super Kamiokande

Altri tentativi di unificazione

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26 - LA TEORIA DEL TUTTO

Introduzione

Tentativi di unificazione

Dalla GUT alla teoria del tutto

PARTE SECONDA: LE RIVOLUZIONI DI INIZIO NOVECENTO

13

FISICA QUANTISTICA

La prima teoria rivoluzionaria che andiamo ad esporre riguarda la fisica quantistica che sarà indissolubilmente legata al microcosmo.

Tale teoria spiegherà molti dei fenomeni che avevano scatenato la crisi della fisica classica, introducendo nuovi orizzonti scientifici.

La soluzione di Planck per lo spettro del corpo nero

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Una delle discrepanze principali che portarono al superamento della fisica classica era data dalla spiegazione dello spettro del corpo nero.

Secondo lo schema conosciuto, l’energia poteva assumere ogni valore possibile e, pertanto, la distribuzione statistica dell’energia seguiva la ben nota legge di Boltzmann, derivata dalla termodinamica classica:

Ciò portava ad una distribuzione dello spettro del corpo nero che era conosciuta come la formula di Rayleigh-Jeans:

in pieno accordo con i dati sperimentali per la regione dell’infrarosso, ma non per la regione dell’ultravioletto, come già ricordato nel paragrafo precedente.

Nel 1900, Planck ipotizzò che l’energia non potesse assumere qualunque valore continuo possibile, ma solo alcuni discreti dati dalla seguente espressione:

dove n è un intero positivo e h una costante definita come costante di Planck.

Così facendo, la distribuzione statistica dell’energia (mediata sulle sommatorie discrete e non sugli integrali continui) diviene:

e la distribuzione dello spettro del corpo nero assumeva una nuova forma, in pieno accordo con i dati sperimentali, anche nella regione dell’ultravioletto.

Il passaggio logico pensato da Planck fu di straordinaria importanza.

Per la prima volta si ammetteva che l’energia, o una qualunque entità fisica, fosse una quantità discreta e non potesse assumere qualsivoglia valore.

Planck introdusse il concetto dell’energia discreta per fare collimare la teoria con i dati sperimentali relativamente allo spettro del corpo nero e chiamò questi valori consentiti di energia come quanti. Da allora in poi, la teoria che ne scaturì assunse il termine di fisica quantistica e l’aggettivo quantistico fu messo come qualificativo di ogni parte di questa teoria.

Lo spettro del corpo nero era dunque spiegato in questa nuova visione, ma non lo erano tutte le altre problematiche ed inoltre mancava una teoria sovrastante che prevedesse tutti questi risultati empirici.

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La soluzione di Einstein per l effetto fotoelettrico

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Nel 1905 (straordinariamente lo stesso anno della pubblicazione della teoria della relatività ristretta), Einstein propose una soluzione per spiegare la fenomenologia dell’effetto fotoelettrico.

Einstein accettò l’ipotesi di Planck e la applicò all’effetto fotoelettrico.

L’energia di un’onda elettromagnetica dipendeva solamente dalla frequenza.

L’effetto fotoelettrico descritto dalle esperienze di Hertz trovava facile spiegazione se si accettava l’ipotesi un’energia quantizzata dipendente solamente dalla frequenza dell’onda elettromagnetica.

Ecco perché al di sotto di una certa frequenza, non vi era emissione di elettroni, dato che non vi era energia sufficiente per stimolare questa emissione e ciò spiegava anche il motivo per il quale l’energia degli elettroni emessi fosse proporzionale alla frequenza.

Einstein chiamò i quanti della luce, e delle onde elettromagnetiche in genere, con il nome di fotoni.

Il modello di Bohr

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L’ipotesi di Planck aveva in qualche modo spiegato le due incongruenze relative allo spettro del corpo nero e all’effetto fotoelettrico.

Rimaneva aperta la questione della stabilità della materia e di dare una spiegazione generale al perché l’energia fosse una quantità discreta e non continua.

Nel 1913 Bohr propose un primo modello di atomo che seguiva le regole della fisica quantistica, ma dovette introdurre dei postulati per spiegare la stabilità della materia.

Prendendo spunto dagli esperimenti di Rutherford, comprese che l’elettrone, carico negativamente, ruotava attorno ad un nucleo atomico, carico positivamente, e introdusse alcune variazioni al modello atomico precedente.

Innanzitutto quantizzò anche il momento angolare di un elettrone che ruota attorno al nucleo introducendo una dipendenza diretta con la costante di Planck, così come fatto anni prima per l’energia (le regole di quantizzazione furono poi estese e completate da Sommerfeld nel 1916).

Così facendo, si iniziò a comprendere come la quantizzazione fosse un processo molto più diffuso di quanto la relazione di Planck facesse intendere.

In seguito, postulò che un elettrone ruotasse attorno al nucleo in orbite predefinite (quantizzate appunto) senza emettere radiazione elettromagnetica (il tutto per spiegare la stabilità dell’atomo).

L’emissione di radiazione elettromagnetica avviene solamente quando l’elettrone salta da un’orbita all’altra e l’energia emessa (o assorbita) rispetta sia la relazione di Planck sia il principio di conservazione dell’energia.

I raggi delle orbite stabili sono anch’essi quantizzati e legati al numero quantico principale e al numero atomico secondo quanto segue:

La seconda frazione è esattamente il raggio del livello fondamentale dell’idrogeno, l’atomo più semplice in assoluto essendo formato da un solo elettrone e da un solo protone.

L’energia di queste orbite stabili era data da

che per n=1 corrisponde esattamente all’energia del primo stato legato dell’idrogeno.

L’atomo di Bohr rappresenta il primo tentativo sistematico nel tentare di conciliare la nuova teoria quantistica con quanto sperimentalmente trovato da altre discipline, quali l’elettromagnetismo e la chimica, ma aveva il difetto di dover postulare certi assunti per spiegare la stabilità della materia e non era in accordo con quanto misurato per atomi diversi da quello dell’idrogeno.

Inoltre, non risultava spiegato il dualismo tra onda e particella che tanto era divenuto evidente dalla pubblicazione delle equazioni di Maxwell.

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Nuove scoperte: effetto Compton

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Un ulteriore tassello verso una nuova teoria generale si ottenne nel 1920 dalla spiegazione dell’effetto Compton.

Considerando i raggi X diffusi dagli elettroni e combinando l’equazione dell’energia di Planck con quella dell’energia di Einstein per la relatività ristretta, si spiegò l’evidenza sperimentale che faceva dipendere la variazione di lunghezza d’onda dall’angolo di incidenza secondo la seguente formula:

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La soluzione di De Broglie per il dualismo onda-particella

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Proprio la comparazione tra due equazioni energetiche, quella della fisica quantistica e quella della relatività ristretta, portò all’ultimo tassello necessario per superare quei problemi ricordati precedentemente.

Nel 1924, De Broglie mise una di quelle pietre miliari destinate a sovvertire completamente dei concetti fino ad allora considerati come separati.

Partendo da queste quattro equazioni (la prima è l’equazione energetica secondo la relatività ristretta, la seconda è la relazione di Planck, la terza è la definizione di velocità della luce secondo le equazioni di Maxwell, la quarta è la definizione di quantità di moto):

ricavò con semplici passaggi matematici la seguente relazione:

Tale relazione collega una quantità ondulatoria, come la lunghezza d’onda, con una quantità materiale, come la quantità di moto, dicendo che il loro prodotto è pari ad una costante.

De Broglie intuì che questa relazione era la base fondamentale per superare l’eterno dualismo tra natura ondulatoria e natura corpuscolare delle entità fisiche, semplicemente affermando che ognuna di esse è, nello stesso tempo, sia onda sia particella e ponendo quel dualismo non come un problema, ma come una nuova frontiera.

Tramite tale relazione, si calcolò la lunghezza d’onda dell’elettrone che quindi non era solo una particella, ma anche un’onda.

Young e le due fenditure

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Lo scienziato inglese Young aveva effettuato, nel lontano 1801, degli esperimenti sulla luce per dimostrarne la natura ondulatoria.

Gli scienziati compresero come tale apparato sperimentale potesse tornare utile per confermare, o meno, il dualismo onda-particella.

Si prenda una sorgente debole di luce e una lastra fotografica.

Tra di esse si ponga una barriera opaca con due fenditure parallele.

Si costruisca un analogo apparato sperimentale nel quale la sorgente debole di luce è sostituita da una sorgente debole di elettroni.

Se le sorgenti emettono un fotone (o un elettrone) alla volta, la lastra viene impressionata con singoli punti luminosi, quindi i fotoni e gli elettroni si comportano da particelle.

Se invece si aumenta il numero di fotoni (o elettroni) emessi, la lastra mostra le classiche frange di interferenza tipiche della natura corpuscolare.

Inoltre, ed è questo l’aspetto più sconvolgente, sebbene i fotoni e gli elettroni si comportino da corpuscoli se emessi singolarmente, non è possibile stabilire da quale delle due fenditure essi sono passati.

La duplice natura è presente in modo intrinseco, ossia non è possibile scindere un solo comportamento di questo dualismo.

A sua totale insaputa (le lastre fotografiche dell’Ottocento difatti erano poco sensibili ai fasci deboli di luce), Young aveva ideato un esperimento che avrebbe potuto risolvere il dualismo onda-particella ben 125 anni prima!

La meccanica quantistica secondo Schrodinger

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Tutte queste evidenze sperimentali e teoriche, susseguitesi nell’arco di un ventennio, necessitavano di una spiegazione generale che le comprendesse tutte, così come nell’Ottocento le equazioni di Maxwell inglobarono le esperienze di Volta, Ampére, Oersted e Faraday.

Proprio la relazione di De Broglie diede l’impulso finale alle argomentazioni quantistiche.

Nel 1926, con quattro differenti articoli, Schrodinger mostrò che la meccanica ondulatoria di De Broglie soddisfaceva le regole di quantizzazione di Bohr e seguendo il parallelismo tra ottica e meccanica (ossia tra natura ondulatoria e corpuscolare) stabilì una nuova equazione che divenne la base della meccanica quantistica.

La meccanica di Newton diventava un’approssimazione della meccanica quantistica per energie grandi e per scale spaziali molto maggiori rispetto alla lunghezza d’onda stabilita dalla relazione di De Broglie.

La nuova equazione derivava in modo naturale dalla meccanica di Newton semplicemente applicando la relazione di De Broglie e le seguenti regole di corrispondenza (consideriamo il caso monodimensionale, almeno per ora):

Dove:

Al posto di quantità continue come E e p, si introducevano degli operatori discreti, in pieno accordo con la procedura di quantizzazione.

L’equazione di Schrodinger assume, dunque, questa forma generale (per casi multidimensionali, basta pensare a dipendenze anche dalle coordinate y e z):

Questa equazione rivela molteplici aspetti che spiegano quasi tutte le nuove proprietà della meccanica quantistica.

Le soluzioni di tale equazione sono delle funzioni d’onda, nome dato dallo stesso Schrodinger per ricordare la base della meccanica ondulatoria.

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1) Innanzitutto in questa equazione compare un generico potenziale V(x).

In base alla forma di questo potenziale (a gradino, a buca, come oscillatore armonico e via dicendo) vi sono differenti soluzioni di questa equazione.

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2) In secondo luogo, sussistono delle forti somiglianze tra questa equazione e quanto derivato dalle equazioni di Maxwell, sotto opportune riscritture. Si possono fare, dunque, delle semplici corrispondenze e stabilire una sorta di calcolo numerico parallelo, sempre tenendo a mente le grosse differenze di base (da un lato quantità continue, dall’altro quantità discrete).

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3) La terza osservazione riguarda il fattore temporale che è un puro fattore di fase. Questa osservazione, unitamente al fatto che il secondo membro dell’equazione è, di per sé, un numero complesso, comporta una differenza enorme rispetto alle equazioni di Maxwell.

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Nel caso in cui le funzioni di onda si possano esprimere in tale forma

l’equazione di Schrodinger assume una forma semplificata, relativa agli stati stazionari:

che è un’equazione agli autovalori, dati dall’energia, mentre u(x) sono le autofunzioni.

L’equazione di Schrodinger è dunque un’equazione energetica.

L’energia può assumere solo dei valori predefiniti, in altre parole tale equazione prevede la quantizzazione dell’energia e questo è un primo risultato a favore di essa.

Vedremo a breve come le previsioni collimino con le verifiche sperimentali.

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La visione probabilistica

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Prima di proseguire, va fatta una precisazione doverosa.

Alla domanda cosa rappresenta la funzione d’onda?, la meccanica quantistica può dare solo questa risposta la soluzione dell’equazione di Schrodinger.

Detto in altro modo, non vi è una corrispondenza tra la funzione d’onda e una quantità fisica osservabile.

Di per sé, la funzione d’onda non rappresenta nulla.

Questo sarà uno dei problemi di natura filosofica che andremo ad esplicitare alla fine di questo capitolo.

La vera novità della meccanica quantistica era data però dal fatto che il modulo quadro della funzione d’onda rappresenta la probabilità di trovare l’onda/particella in un determinato luogo ad un determinato tempo.

L’evoluzione da una meccanica deterministica ad una probabilistica gettava nuova luce sulla fisica stessa.

La fisica atomica, base di tutti gli altri settori dato che l’atomo è la base costituente della materia, prevedeva che non si può affermare con certezza dove sia una determinata particella, ma solamente stabilirne la probabilità.

L’interpretazione probabilistica dell’equazione di Schrodinger fu data solo un anno dopo il 1926, da parte di Born.

Con questa precisazione e studiando le equazioni di Schrodinger al variare dei potenziali V(x), si estesero le conoscenze della fisica classica arrivando a nuovi orizzonti scientifici.

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Le novità rispetto alla meccanica classica

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Un primo punto era la previsione che la funzione d’onda poteva estendersi anche a zone che, invece, la fisica classica considerava proibite.

Nel caso del gradino di potenziale, ad esempio, la meccanica quantistica prevede che l’onda/particella possa superare il gradino anche se l’energia associata è minore, cosa impossibile per la fisica classica.

Questo effetto, noto come effetto tunnel, è alla base di gran parte del funzionamento moderno dei calcolatori elettronici, come quelli dei computer e dei cellulari. In effetti, la fisica quantistica è stata l’antesignana di molti settori come la fisica dello stato solido, della materia, dei semiconduttori e le nanotecnologie.

Allo stesso modo, all’interno della zona consentita a livello classico, vi sono dei punti particolari nei quali la probabilità di trovare l’onda/particella risulta nulla.

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Un secondo punto è la verifica che l’energia può assumere solo valori discreti al di sotto di alcune soglie, per esempio il già citato gradino di potenziale, mentre diventa a spettro continuo al di sopra di esse.

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Un terzo punto è dato dall’energia di punto zero.

Dall’equazione di Schrodinger si vede come la soluzione a energia più bassa non è mai zero, ma un multiplo di ½ hf che è definita appunto come energia di punto zero, ossia la minima possibile. L’equazione di Planck va dunque modificata in tale senso (con n intero positivo):

Le soluzioni

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Considerando l’equazione di Schrodinger in coordinate sferiche e svolgendo la soluzione per la parte radiale, si trovano come soluzioni le funzioni u(r) date dai noti polinomi di Laguerre, il primo dei quali è il seguente:

dove il pedice 10 fa riferimento ai due numeri discreti utilizzati per identificare tale polinomio.

Il primo pedice è proprio n, il numero quantico principale già introdotto da Bohr, mentre il secondo pedice l dà ragione della forma (sferica nel caso sia uguale a zero, come in questo esempio) e può variare solo per interi positivi minori di n.

In sostanza il primo polinomio di Laguerre così come espresso sopra è la parte radiale della funzione d’onda riferita allo stato fondamentale dell’atomo di idrogeno.

Rileggendola in chiave probabilistica, il modulo quadro di tale funzione è la probabilità di trovare l’elettrone nell’atomo di idrogeno.

Si vede chiaramente come la probabilità è nulla in prossimità del nucleo atomico (r=0) mentre la probabilità di trovare l’elettrone da qualche parte è pari all’evento certo dato che vale, per un A opportuno, la seguente relazione:

La meccanica quantistica spiega dunque il perché l’elettrone non cade verso il nucleo atomico sotto la forza di attrazione di Lorentz e inoltre prevede che non esistono orbite prefissate, dato che non è applicabile il determinismo classico, a favore invece del probabilismo quantistico.

Il nome dato a queste zone di probabilità di trovare l’elettrone è quello di orbitale.

Il numero quantico l dà dunque la forma degli orbitali in base alla probabilità di trovare o meno l’elettrone in quella determinata zona.

Per il primo stato legato dell’idrogeno, è facile verificare che la probabilità massima di trovare l’elettrone si ha proprio nel caso del raggio di Bohr e che, a quel raggio, l’energia di legame è nello stato stabile ossia si rispetta il principio di minima energia.

A differenza della meccanica ondulatoria, l’equazione di Schrodinger spiega in modo egregio anche gli atomi più complessi e non solo quello dell’idrogeno.

Inoltre, con la definizione degli orbitali, si trova una facile comprensione teorica delle proprietà della tavola periodica e della regola dell’ottetto.

La fisica atomica descritta dalla meccanica quantistica ingloba in sé una buona parte degli esperimenti della fisica-chimica e della fisica della materia, in particolare gli spettri atomici e molecolari, soprattutto dopo ciò che andremo a dire a breve.

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Evoluzione operatoriale e principi di indeterminazione

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La meccanica quantistica può essere espressa anche sotto forma operatoriale, ricordando le relazioni di Hamilton della meccanica classica e applicandole al caso quantistico.

Le leggi di Newton potevano scriversi in questo elegante modo:

con p e q osservabili continue (quantità di moto e posizione) detti anche operatori canonici, mentre H era la funzione (continua) hamiltoniana definita come:

Un risultato fondamentale della meccanica classica era la commutazione degli operatori canonici; in altre parole qp-pq=0.

Applicando le regole di corrispondenza ricordate per energia e quantità di moto, in meccanica quantistica si associarono agli operatori canonici degli operatori discreti così come segue:

Mentre la funzione hamiltoniana prendeva la forma di un operatore discreto detto hamiltoniano:

Con tale simbolismo, l’equazione generale di Schrodinger e quella per gli stati stazionari diventano semplicemente le seguenti:

In meccanica quantistica, gli operatori canonici non commutano. Difatti sussiste tale relazione:

Che è diretta conseguenza (e che spiega anche) il principio di indeterminazione di Heisenberg, enunciato solo qualche anno dopo il 1926.

In particolare, Heisenberg affermò che, ogni quantità fisica non commutante con un’altra, sottostava alla seguente disuguaglianza:

dove [A,B] è il commutatore definito come AB-BA mentre è un generico operatore discreto e il simbolismo è quello del bra-ket usato da Dirac (che ritroveremo tra poco in questa