Studio di funzione esercizi svolti

Di Alessio Mangoni

Dopo aver descritto i punti chiave dello studio di funzione, si propongono e risolvono alcuni esercizi, accompagnati da grafici e commenti. Questo libro è adatto a tutti gli studenti che devono cimentarsi con lo studio di funzioni. Gli strumenti necessari per risolvere gli esercizi sono, in generale: le equazioni, le disequazioni e loro sistemi, i limiti e le derivate. 
Autore: dr. Alessio Mangoni, PhD, fisico teorico. 

• Lingua: Italiano
• Editore: Dr. Alessio Mangoni
• Data di uscita: 19 apr 2020
• ISBN: 9788835811497

Anteprima del libro

2020

Indice

Indice

Introduzione

Punti chiave dello studio di funzione

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

Introduzione

Dopo aver descritto i punti chiave dello studio di funzione, si propongono e risolvono alcuni esercizi, accompagnati da grafici e commenti. Questo libro è adatto a tutti gli studenti che devono cimentarsi con lo studio di funzioni. Gli strumenti necessari per risolvere gli esercizi sono, in generale: le equazioni, le disequazioni e loro sistemi, i limiti e le derivate.

Punti chiave dello studio di funzione

Studiare una funzione significa eseguire dei calcoli per poterne disegnare un grafico probabile. In generale per lo studio di una funzione si può seguire questo schema:

Calcolo del dominio D della funzione f(x). Ricordiamo che i domini più comuni seguono le regole: 1) denominatori mai nulli, 2) argomenti di radici a indice pari o frazionario mai negativi, 3) argomenti di logaritmi sempre positivi e 4) argomenti delle funzioni trigonometriche inverse arcsin e arccos sempre compresi tra -1 e 1;

Verifica di eventuali simmetrie della funzione f(x) (pari o dispari). Una funzione si dice pari se per ogni x vale f(-x) = f(x), si dice dispari se per ogni x vale f(-x) = -f(x);

Ricerca di eventuali punti di intersezione del grafico di f(x) con gli assi cartesiani, mettendo a sistema l’equazione y=f(x) una volta con l’equazione dell’asse x (y=0) e un’altra volta con l’equazione dell’asse y (x=0);

Studio del segno della funzione f(x), risolvendo la disequazione f(x)>0. Questo permette di escludere delle zone del piano dove sicuramente non passerà il grafico della funzione (ad esempio se per certi valori di x la f(x) è positiva, cioè y>0, allora occorre barrare, per il tratto delle x in questione, la parte sotto l’asse delle ascisse).

Studio del segno della derivata prima f’(x), risolvendo la disequazione f’(x)>0 per la ricerca di eventuali massimi e minimi. Questo permette anche di capire quando la funzione f(x) è crescente (se y’>0) e quando decrescente (se y’<0);

Ricerca di eventuali asintoti. Ci sono tre tipi di asintoti: orizzontali, obliqui e verticali. Gli asintoti orizzontali sono rette orizzontali con equazione del tipo y=q. Possono essercene nessuno, uno o due al massimo, uno per x che tende a più infinito e uno per x che tende a meno infinito (i due possono anche coincidere). Si ha l’asintoto orizzontale y=q se il limite per x che tende a infinito viene un valore finito q. Se questo limite fosse invece infinito non c’è asintoto orizzontale, ma potrebbe essercene uno obliquo (sempre in quella direzione, da trattare separatamente, x che tende a più o meno infinito). Esiste asintoto obliquo di equazione y=mx+q se il limite (ad esempio per x che tende a più infinito)



è un valore finito non nullo. In questo caso l’intercetta q si ottiene dal limite



Si procede alla verifica dell’esistenza dell’asintoto obliquo solo se si è esclusa la presenza di quello orizzontale (nella stessa direzione). Eventuali asintoti verticali invece si hanno se si ottiene un valore infinito dai limiti destro e sinistro (se ammessi a seconda del dominio) per x che tende a punti esclusi dal dominio, ma di accumulazione per esso;

Studio del segno della derivata seconda f’’(x), risolvendo la disequazione f’’(x)>0 per la ricerca di