Fondamenti di fisica
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Anteprima del libro
Fondamenti di fisica - Alessio Mangoni
979-8653531965.
Indice
Indice
Introduzione
Parte I
Meccanica Quantistica
Introduzione
La funzione d’onda
L’equazione di Schrödinger
Equazione per particella libera
Equazione generale
L'equazione di continuità
I pacchetti d’onde
La normalizzazione
Sistemi completi e trasformate di Fourier
Intervallo di ampiezza 2pi-greco
Intervallo di ampiezza L
Intervallo di ampiezza infinita
Spazio delle coordinate e degli impulsi
Valori medi di osservabili
Gli operatori
L'operatore posizione
L'operatore impulso
L'operatore energia
L'operatore momento angolare
Coordinate sferiche
Le relazioni di commutazione
Il principio di indeterminazione
Equazioni agli autovalori
L'operatore posizione
L'operatore impulso
L'operatore terza componente del momento angolare
Parte II
Fisica delle particelle
Introduzione
Unità naturali
Richiami di relatività
Quadrivettori
Trasformazioni di Lorentz
Cinematica relativistica
Massa di un sistema di particelle
Le particelle
Particelle elementari
I quark
I leptoni
Modello a quark
Forze elementari
Gli adroni
I mesoni
Il mesone di Yukawa
I barioni
I nucleoni
I raggi cosmici
Il pione
Il muone
Particelle con stranezza
I kaoni
Gli iperoni
Perdita di energia
Perdita di energia per ionizzazione
Perdita di energia di un elettrone
Perdita di energia di un fotone
Perdita di energia di un adrone
Numeri quantici e simmetrie
La stranezza S
La parità P
Parità del fotone
Parità di un sistema di due particelle
La coniugazione di carica C
Coniugazione di carica del fotone
Coniugazione di carica del pione
L'inversione temporale T
Teorema CPT
Numero barionico
Numero leptonico
Isospin
Ipercarica
Relazione di Gell-Mann e Nishijima
La G-parità
Elicità
Chiralità
Scattering e decadimenti
Sistemi di riferimento
Grandezza s
Variabili di Mandelstam
Scattering elastico a due corpi
Regola d'oro di Fermi
Sezione d'urto
Diminuzione intensità del fascio
Luminosità
Sezione d'urto per due corpi
Decadimenti
Parte III
Fisica teorica
Introduzione
Lagrangiane e Hamiltoniane
Lagrangiana in teoria dei campi
Hamiltoniana in teoria dei campi
Simmetrie e invarianza di gauge
Simmetrie e leggi di conservazione
Invarianza di gauge
Campo di Klein-Gordon
Equazione di Klein-Gordon
Lagrangiana di Klein-Gordon
Hamiltoniana di Klein-Gordon
Campo elettromagnetico
Equazioni di Maxwell
Invarianza di gauge
Lagrangiana di Maxwell
Campo di Dirac
Equazione di Dirac
Proprietà matrici gamma
Lagrangiana di Dirac
Hamiltoniana di Dirac
Soluzioni libere
Elettrodinamica quantistica (QED)
Lagrangiana di interazione
Hamiltoniana di interazione
Operatori di campo
Matrice S
Parte IV
Fisica della materia
Introduzione
Diffusione e moto browniano
Introduzione
Relazione di Einstein
Leggi di Fick
Random walker
Equazione di Langevin
Equazione di Fokker-Planck
Equazione di Boltzmann
Modello di Drude
Introduzione
Conducibilità elettrica
Effetto Hall
Conducibilità termica
Effetto Seebeck
Modello di Sommerfeld
Trattazione quantistica del gas di elettroni
Calcolo dell'energia interna
Sviluppo in serie di Sommerfeld
Proprietà meccaniche dei solidi
Introduzione
Modulo di Young
Modulo di comprimibilità
Coefficiente di Poisson
Difetti reticolari
Introduzione
Difetti puntiformi
Centri di colore
Le dislocazioni
Semiconduttori
Semiconduttori intrinseci
Semiconduttori estrinseci
Introduzione
Questo libro si prefigge lo scopo di fornire solide basi per lo studio della fisica in ambito universitario ed è diviso in quattro parti, ciascuna dedicata a una branca fondamentale della fisica: la meccanica quantistica, la fisica teorica, la fisica delle particelle e la fisica della materia. Nella prima parte si inizia con il concetto di funzione d'onda, fino ad arrivare al principio di indeterminazione di Heisenberg. Nella seconda parte, dopo aver richiamato i concetti di base della relatività, si trattano le particelle elementari e gli adroni, fino alle nozioni di scattering e sezione d'urto. Nella terza parte si affronta la fisica teorica, analizzando la teoria dei campi con i concetti di Lagrangiana e Hamiltoniana, fino a introdurre l'elettrodinamica quantistica (QED), passando per i campi di Klein-Gordon, di Dirac e di Maxwell. Nell'ultima parte del libro si espongono le basi della fisica della materia, tra cui diffusione e moto browniano, modello di Drude e di Sommerfeld, calore specifico e proprietà meccaniche dei solidi, con cenni ai difetti reticolari e ai semiconduttori.
Parte I
Meccanica Quantistica
Introduzione
In questa prima parte forniremo un'introduzione teorica rigorosa, ma intuitiva e quindi adatta ai più, della meccanica quantistica non relativistica, cioè della teoria che descrive i sistemi che coinvolgono particelle di dimensioni abbastanza piccole e che hanno velocità abbastanza minori di quelle della luce nel vuoto. In natura sono presenti quattro forze fondamentali: nucleare forte, elettromagnetica, nucleare debole e gravitazionale. Inoltre ci sono due teorie che dovrebbero essere considerate per la descrizione ultima della natura, queste teorie sono la meccanica quantistica e la relatività ristretta di Einstein. A seconda delle circostanze si può fare a meno di una delle due o addirittura di entrambe e descrivere i sistemi a livello classico, cioè non quantistico e non relativistico. Finora si è riusciti a elaborare teorie rigorose e funzionanti, relativistiche e quantistiche per tre delle quattro forze, tutte tranne quella gravitazionale. Queste teorie fanno parte del cosiddetto modello standard delle particelle elementari che comprende anche il famoso bosone di Higgs (campo scalare aggiuntivo che si accoppia con alcune particelle e fornisce loro la massa). Per quanto riguarda la forza gravitazionale disponiamo della teoria non quantistica e non relativistica, detta ``classica'', della gravitazione di Newton che funziona benissimo fintanto che non si analizzano sistemi in cui gli effetti relativistici e quantistici non possono essere trascurati (un esempio in cui fallisce sono i sistemi come i buchi neri). Einstein ha elaborato la teoria della relatività generale che mette insieme la relatività ristretta e l'interazione gravitazionale e che può essere considerata, forse, come la teoria più elegante dal punto di vista matematico, ma resta sempre una teoria non quantistica. In questa parte dunque tratteremo solo la meccanica quantistica non relativistica che è già di suo molto importante e sta alla base della sua formulazione relativistica (che viene formulata spesso tramite teorie di campi e prevede automaticamente l'esistenza dell'antimateria e dello spin per le particelle). In questa parte di introduzione alla meccanica quantistica tratteremo i seguenti argomenti:
- la funzione d’onda;
- l'equazione di Schrödinger (particella libera, equazione generale e equazione di continuità);
- i pacchetti d'onde;
- la normalizzazione;
- sistemi completi e trasformate di Fourier;
- spazio delle coordinate e spazio degli impulsi;
- valori medi di osservabili;
- gli operatori (posizione, impulso, energia, momento angolare);
- gli operatori in coordinate sferiche;
- le relazioni di commutazione;
- le equazioni agli autovalori (con esempi);
- il principio di indeterminazione di Heisenberg.
La funzione d’onda
Iniziamo col dire che la descrizione di un sistema quantistico avviene tramite una funzione, detta funzione d'onda, associata al sistema. Questa è funzione del tempo e dello spazio (coordinate x,y,z) e, in generale, è un numero complesso. Si indica di solito con la seguente lettera greca

e deve avere alcune proprietà che elencheremo a breve. Innanzitutto la formulazione della meccanica quantistica si basa sulla cosiddetta interpretazione di Copenhagen
e asserisce che tutto ciò che è si può sapere di un sistema è contenuto nella sua funzione d'onda. In particolare la probabilità di trovare ad un certo istante t il sistema nell'elemento di volume tra (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz) è data da

Si osservi che essa è un numero reale non negativo essendo il modulo quadro di un numero complesso. Se integriamo la probabilità di trovare un sistema su tutto il volume a disposizione dovremmo ottenere 1 (che è il 100%) cioè la certezza di trovarlo da qualche parte sul volume a disposizione. Come vedremo in seguito questo non può accadere per una particella libera giacché anche intuitivamente la densità di probabilità di trovarla da qualche è costante e se integriamo una costante su un volume infinito otterremo infinito e non 1. La soluzione sta nel limitare il volume a disposizione della particella libera che, anche in natura, non potrà mai essere effettivamente infinito, una tale normalizzazione si dice in scatola
e verrà trattata più avanti. Quando invece accade si dice che la funzione d'onda è normalizzata ad 1 e il suo modulo quadro esprime pienamente la densità di probabilità di presenza del sistema come detto finora. Per funzioni d'onda normalizzate accade quindi che

Elenchiamo ora i requisiti fisici che una funzione d'onda deve soddisfare per descrivere bene un sistema quantistico:
la funzione d'onda deve essere ovunque continua. Dato il suo legame con la probabilità di trovare una particella in un volume e in un certo tempo non può essere discontinua altrimenti si avrebbero probabilità diverse a seconda del modo di avvicinarsi, ad esempio, al volume in questione.
la funzione d'onda deve essere ovunque limitata. Infatti non ha senso parlare di probabilità infinita di trovare il sistema da qualche parte (la probabilità massima è 1).
la funzione d'onda deve essere ad un solo valore, cioè monodroma e non polidroma. Non si possono avere infatti più probabilità per un dato punto e un dato tempo.
Per concludere questo capitolo sulla funzione d'onda di un sistema quantistico (o per una particella, in