Analisi Matematica 1
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Autore: dr. Alessio Mangoni, PhD, fisico teorico.
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Anteprima del libro
Analisi Matematica 1 - Alessio Mangoni
2020
Indice
Indice
Introduzione
Trigonometria
Funzioni trigonometriche
Relazioni fondamentali
Teorema dei seni
Teorema del coseno o di Carnot
Formule di addizione
Formule di prostaferesi
Formule di prostaferesi per il seno
Formule di prostaferesi per il coseno
Formule di prostaferesi per la tangente
Formule di prostaferesi per la cotangente
Formule di Werner
Prima formula di Werner
Seconda formula di Werner
Terza formula di Werner
Teorema della corda
Definizioni
Relazione tra angolo al centro e alla circonferenza
Area di un triangolo qualsiasi
Esempi di applicazione
Limiti
Introduzione
Punto di accumulazione
Definizione di limite
Limite da destra e da sinistra
Continuità di una funzione
Unicità del limite
Limite della somma e del prodotto
Limite della somma
Limite del prodotto
Teorema di permanenza del segno
Teorema del confronto
Limiti notevoli
Limite notevole 1
Limite notevole 2
Limite notevole 3
Limite notevole 4
Limite notevole 5
Limite notevole 6
Successioni e serie
Introduzione
Definizione di successione
Limite di successioni
Definizione di serie
Successioni algebriche e geometriche
Termine n-esimo
Somma parziale n-esima
Una serie geometrica particolare
Teorema per la condizione necessaria
Criterio del confronto
Criterio del confronto asintotico
Criterio del rapporto
Criterio del rapporto asintotico
Criterio di convergenza assoluta
Criterio della radice
Criterio di Leibniz
Derivate
Rapporto incrementale
Definizione di derivata
Punto stazionario
Proprietà della derivata
Derivate di funzioni elementari
Regola della catena
Teorema di Weierstrass
Teorema di Fermat sui punti stazionari
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Teorema di Cauchy
Teorema di L'Hopital
Dalla matematica alla fisica
Integrali
Introduzione
Definizione di integrale
Proprietà dell’integrale
Linearità dell'integrale
Additività dell’integrale
Teorema del valore assoluto
Teorema della media
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Definizione di primitiva
Primitive di funzioni elementari
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Dalla matematica alla fisica
Appendice A - L’induzione matematica
Appendice B - Cenni sulle equazioni differenziali
Esercizi
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Esercizio 5
Esercizio 6
Esercizio 7
Esercizio 8
Esercizio 9
Esercizio 10
Esercizio 11
Esercizio 12
Esercizio 13
Esercizio 14
Esercizio 15
Esercizio 16
Esercizio 17
Esercizio 18
Esercizio 19
Esercizio 20
Esercizio 21
Esercizio 22
Esercizio 23
Esercizio 24
Esercizio 25
Esercizio 26
Esercizio 27
Svolgimento degli esercizi
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Esercizio 4
Esercizio 5
Esercizio 6
Esercizio 7
Esercizio 8
Esercizio 9
Esercizio 10
Esercizio 11
Esercizio 12
Esercizio 13
Esercizio 14
Esercizio 15
Esercizio 16
Esercizio 17
Esercizio 18
Esercizio 19
Esercizio 20
Esercizio 21
Esercizio 22
Esercizio 23
Esercizio 24
Esercizio 25
Esercizio 26
Esercizio 27
Introduzione
Questo libro è adatto sia a studenti degli ultimi anni delle superiori sia a studenti universitari per la preparazione degli esami di analisi matematica. I principali argomenti trattati sono: trigonometria, limiti, successioni e serie, derivate, integrali, induzione matematica. Sono presenti grafici, figure e esempi di applicazione della teoria e applicazioni alla fisica. La seconda parte del libro è dedicata allo svolgimento commentato di vari esercizi originali proposti.
Trigonometria
Funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche di base sono il seno e il coseno di un angolo. Si consideri la circonferenza, di raggio unitario, mostrata in figura

Dato un punto P sulla circonferenza si consideri l'angolo la cui misura, in radianti, è indicata con x in figura. Si definisce seno dell'angolo x in questione, e si indica con

la lunghezza, priva di unità di misura, dell'ordinata del punto P. Questa funzione ha dominio e codominio rispettivamente

e

ed è periodica di periodo

Nella figura seguente è mostrato il grafico della funzione

Analogamente si definisce coseno dell'angolo x, e si indica con

la lunghezza, sempre priva di unità di misura, dell'ascissa del punto P. Questa funzione ha, come il seno di x, dominio e codominio

e

ed è periodica di periodo

Nella figura seguente è mostrato il suo grafico

Osserviamo che i grafici delle funzioni seno e coseno sono l’uno uguale all'altro traslato di una quantità

cioè

Se la circonferenza iniziale fosse di raggio R e non unitaria, essendo l'angolo x invariante, l'ascissa e l'ordinata del punto P sarebbero rispettivamente

e

Definiamo ora la tangente dell'angolo x come il rapporto tra il suo seno e il suo coseno, cioè

Questa funzione ha dominio e codominio

a causa degli zeri del denominatore e

ed è periodica di periodo

Nella figura seguente riportiamo il grafico della funzione tangente

Definiamo anche altre funzioni legate a quelle introdotte finora. La secante dell'angolo x è definita come

con dominio e codominio


periodica con lo stesso periodo della funzione coseno e il cui grafico è riportato di seguito

La cosecante dell'angolo x la seguente

con dominio e codominio


periodica con lo stesso periodo della funzione seno e il cui grafico è riportato di seguito

Infine definiamo la cotangente dell'angolo x come

con dominio e codominio


periodica con lo stesso periodo della funzione tangente e il cui grafico è riportato di seguito

Si possono definire anche le funzioni inverse di tutte queste funzioni trigonometriche, restringendone però il