Diffusione anisotropa: Miglioramento dell'analisi delle immagini attraverso la diffusione anisotropa

Di Fouad Sabry

Cos'è la diffusione anisotropa

Nell'elaborazione delle immagini e nella visione artificiale, la diffusione anisotropa, chiamata anche diffusione Perona?Malik, è una tecnica che mira a ridurre il rumore dell'immagine senza rimuovere parti significative del contenuto dell'immagine, in genere bordi, linee o altri dettagli importanti per l'interpretazione dell'immagine. La diffusione anisotropa assomiglia al processo che crea uno spazio in scala, in cui un'immagine genera una famiglia parametrizzata di immagini successivamente sempre più sfocate in base a un processo di diffusione. Ciascuna delle immagini risultanti in questa famiglia viene fornita come convoluzione tra l'immagine e un filtro gaussiano isotropico 2D, dove la larghezza del filtro aumenta con il parametro. Questo processo di diffusione è una trasformazione lineare e invariante nello spazio dell'immagine originale. La diffusione anisotropa è una generalizzazione di questo processo di diffusione: produce una famiglia di immagini parametrizzate, ma ciascuna immagine risultante è una combinazione tra l'immagine originale e un filtro che dipende dal contenuto locale dell'immagine originale. Di conseguenza, la diffusione anisotropa è una trasformazione non lineare e con varianti spaziali dell'immagine originale.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Diffusione anisotropa

Capitolo 2: Leggi della diffusione di Fick

Capitolo 3: Equazione di diffusione

Capitolo 4: Equazione del calore

Capitolo 5: Equazioni di Navier-Stokes

Capitolo 6: Variazione totale

Capitolo 7: Divergenza

Capitolo 8: Operatore di Laplace

Capitolo 9: Curl (matematica)

Capitolo 10: Teorema della divergenza

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sull'anisotropo diffusione.

(III) Esempi reali dell'uso della diffusione anisotropa in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di diffusione anisotropa.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 28 apr 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Diffusione anisotropa

La diffusione anisotropa, nota anche come diffusione Perona-Malik, è un metodo utilizzato nell'elaborazione delle immagini e nella visione artificiale per ridurre il rumore in un'immagine senza sacrificare le caratteristiche interpretabili dell'immagine come bordi, linee e altri dettagli più fini. Nella diffusione anisotropa, un'immagine sviluppa una famiglia parametrizzata di immagini sempre più sfocate attraverso un processo di diffusione, analogo al processo che costruisce uno spazio di scala. Ogni immagine di output di questa famiglia è rappresentata dalla convoluzione dell'originale con un filtro gaussiano isotropo bidimensionale la cui larghezza viene scalata all'aumentare del parametro. L'immagine viene trasformata in modo lineare e invariante nello spazio dal processo di diffusione. Nella diffusione anisotropa, l'immagine originale viene combinata con un filtro che a sua volta dipende dal contenuto locale dell'immagine originale per ottenere una famiglia di immagini parametrizzate. Pertanto, la diffusione anisotropa è un cambiamento dell'immagine originale che è sia non lineare che variante spaziale.

Fin dall'inizio con la presentazione di Perona e Malik del 1987, le immagini generate sono state in grado di mantenere strutture lineari pur essendo levigate lungo questi stessi schemi. In entrambi questi scenari, il coefficiente di diffusione è una funzione della posizione spaziale dell'immagine e quindi assume un valore di matrice (o tensore) piuttosto che rimanere uno scalare costante (vedi tensore di struttura).

Sebbene il filtro adattato localmente e la sua combinazione con l'immagine possano essere concettualizzati come una combinazione dei filtri dell'immagine originale e della variante spaziale, ciò non è necessario per la famiglia di immagini risultante. Ogni nuova immagine della famiglia viene calcolata applicando questa equazione all'immagine precedente, rendendo possibile la diffusione anisotropa utilizzando un'approssimazione dell'equazione di diffusione generalizzata. Per ottenere il livello desiderato di smoothing, la diffusione anisotropa è un processo iterativo in cui viene impiegato un insieme molto semplice di calcoli per calcolare ogni immagine consecutiva nella famiglia.

Formalmente, denotiamo \Omega \subset {\mathbb {R}}^{2} un sottoinsieme del piano e I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow {\mathbb {R}} siamo una famiglia di immagini in scala di grigi.

{\displaystyle I(\cdot ,0)} è l'immagine di input.

Quindi, possiamo caratterizzare la diffusione anisotropa come

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}

dove \Delta denota il laplaciano, \nabla denota il gradiente, {\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )} è l'operatore di divergenza e c(x,y,t) è il coefficiente di diffusione.

Per {\displaystyle t>0} , l'immagine di output è disponibile come {\displaystyle I(\cdot ,t)} , con t immagini più grandi che producono immagini più sfocate.

c(x,y,t) Controlla la velocità di diffusione e di solito viene scelto in funzione del gradiente dell'immagine in modo da preservare i bordi dell'immagine.

La diffusione anisotropa è stata proposta per la prima volta nel 1990 da Pietro Perona e Jitendra Malik, che hanno anche suggerito due funzioni per il coefficiente di diffusione:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}

e

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

La costante K determina la sensibilità del sistema agli spigoli; In genere viene selezionato empiricamente o in base al livello di rumore dell'immagine.

Denotiamo M la varietà di immagini lisce, allora le equazioni di diffusione presentate sopra possono essere interpretate come le equazioni di discesa del gradiente per la minimizzazione del funzionale dell'energia E:M\rightarrow {\mathbb {R}} definito da

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{{\Omega }}g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

dove g:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}} è una funzione a valori reali che è intimamente correlata al coefficiente di diffusione.

Quindi, per ogni funzione di test infinitamente differenziabile supportata in modo compatto, h

{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}

dove l'ultima riga è una conseguenza dell'integrazione multi-parte multi-dimensionale.

Denotando \nabla E_{I} il gradiente di E rispetto al L^{2}(\Omega ,{\mathbb {R}}) prodotto interno valutato in I, si ottiene

{\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

Questo porta alle seguenti equazioni per la discesa del gradiente della funzione E:

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}

In questo modo si c=g' ottengono le equazioni di diffusione anisotropa.

Il coefficiente di diffusione, c(x,y,t) , come proposto da Perona e Malik può portare a instabilità quando {\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}} .

Questa condizione è dimostrata equivalente a un valore negativo per il coefficiente di diffusione fisica (che è distinto dal coefficiente di diffusione matematico definito da Perona e Malik) e quindi si traduce in una diffusione all'indietro che accentua i contrasti di intensità dell'immagine piuttosto che attenuarli.

Evitando il problema, People ha dimostrato che le regolarizzazioni spaziali portano a una soluzione convergente e costante allo stato stazionario, quindi è necessaria la regolarizzazione.

La regolarizzazione dell'equazione P-M (che verrà spiegata) ha un altro nome:.

Usando questo metodo, per ottenere un'equazione di Perona-Malik modificata, l'incognita viene convoluta con una gaussiana all'interno della non linearità.

{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}

dove

{\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}

.

Questa regolarizzazione consente di posizionare correttamente l'equazione, ma introduce anche l'effetto di sfocatura tipicamente associato alla regolarizzazione. Poiché il parametro di regolarizzazione deve essere selezionato in anticipo, è essenziale conoscere in anticipo il livello di rumore.

Il rumore nelle fotografie digitali può essere attenuato utilizzando la diffusione anisotropa senza influire sulla nitidezza dei bordi dell'immagine. Le equazioni di diffusione anisotropa possono essere semplificate nell'equazione del calore, che è identica alla sfocatura gaussiana, quando il coefficiente di diffusione rimane costante. Funziona meravigliosamente per sopprimere il rumore di fondo, ma ammorbidisce i bordi senza discriminazioni. Se il coefficiente di diffusione viene utilizzato come funzione per prevenire gli spigoli vivi, come nel metodo Perona-Malik, allora le equazioni risultanti promuovono la diffusione (e di conseguenza l'ammorbidimento) nelle parti meno intense dell'immagine, inibendola attraverso gli spigoli vivi. Di conseguenza, i bordi dell'immagine sono protetti mentre il rumore viene ridotto.

In modo analogo a quello della cancellazione del rumore, gli algoritmi di rilevamento dei bordi possono trarre vantaggio dall'applicazione della diffusione anisotropa. Dopo un certo numero di iterazioni di diffusione con un coefficiente di diffusione a ricerca di bordi, l'immagine si sarà evoluta fino a diventare costante a tratti, con i bordi che indicano i confini tra le componenti costanti.

{Fine Capitolo 1}

Capitolo 2: Le leggi di diffusione di Fick

Adolf Fick propose originariamente le sue leggi di diffusione nel 1855, descrivendo la diffusione sulla base di prove per lo più sperimentali. La prima legge di D. Fick può essere usata per ottenere la sua seconda legge, che è uguale all'equazione di diffusione, ed entrambe possono essere usate per risolvere il coefficiente di diffusione.

La diffusione normale o fickiana si riferisce a un processo di diffusione che segue le leggi di Fick; diffusione anomala o non fickiana si riferisce a un processo che si discosta da queste regole.

Le ormai famose regole della diffusione di massa furono descritte per la prima volta dallo scienziato Adolf Fick nel 1855. A ispirare il lavoro di Fick furono le precedenti indagini di Thomas Graham, che, sebbene interessanti, non fornirono le leggi essenziali per le quali Fick sarebbe diventato famoso. La legge di Fick è paragonabile ad altre leggi scoperte contemporaneamente da altri luminari, come la legge di Darcy (flusso idraulico), la legge di Ohm (trasporto di carica) e la legge di Fourier (analisi di frequenza) (trasporto di calore).

Sulla base del lavoro di Graham, Fick condusse esperimenti in cui misurò le concentrazioni e i flussi di sale mentre si diffondeva attraverso tubi d'acqua da un serbatoio all'altro. All'epoca non si pensava che la diffusione nei solidi fosse concepibile, quindi lo studio di Fick si concentrò esclusivamente sulla diffusione nei fluidi. non-fickian è un termine usato per descriverlo.

Secondo la prima legge di Fick, il flusso di diffusione è proporzionale al gradiente di concentrazione. Nella sua forma più semplice, è l'idea che un soluto migrerebbe da una regione ad alta concentrazione a una a bassa concentrazione attraverso un gradiente di concentrazione, con la quantità del flusso proporzionale al gradiente di concentrazione (derivata spaziale). Diverse varianti della legge possono essere espresse in un'unica dimensione (spaziale), con la base molare che è la più diffusa:

{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}

dove

J è il flusso di diffusione, la cui dimensione è la quantità di sostanza per unità di superficie per unità di tempo. J misura la quantità di sostanza che fluirà attraverso un'area unitaria durante un intervallo di tempo unitario.

D è il coefficiente di diffusione o diffusività. La sua dimensione è l'area per unità di tempo.

φ (per le miscele ideali) è la concentrazione, che si misura in termini di massa per unità di volume.

x è la posizione, la cui dimensione è la lunghezza.

D è proporzionale alla velocità al quadrato delle particelle diffondenti, cioè dipende dalla temperatura, in base alla relazione di Stokes-Einstein, alla viscosità del fluido e alla dimensione delle particelle.

Nelle soluzioni acquose diluite i coefficienti di diffusione della maggior parte degli ioni sono simili e hanno valori che a temperatura ambiente sono nell'intervallo (0,6–2)×10−9 m2/s.

Per le molecole biologiche i coefficienti di diffusione vanno normalmente da 10−10 a 10−11 m2/s.

In due o più dimensioni dobbiamo usare ∇, gradiente o dell'operatore, Comprende la derivata prima nel suo insieme, ottenendo

{\displaystyle \mathbf {J} =-D\nabla \varphi }

Il vettore di flusso di diffusione è indicato con la lettera J.

La forza motrice per la diffusione unidimensionale è la quantità −∂φ/

∂x

, questo è il gradiente di concentrazione per miscele omogenee.

Un'altra forma per la prima legge è quella di scriverla con la variabile primaria come frazione di massa (yi, presentata, a titolo illustrativo, in kg/kg, Successivamente, l'equazione si sposta in:

{\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}}

dove

L'i-esima specie è indicata dall'indice i, Ji è il vettore del flusso di diffusione dell' i-esima specie (ad esempio in mol/m2-s), Mi è la massa molare dell' i-esima specie, e

ρ è la densità della miscela (ad esempio in kg/m3).

Si noti che l' \rho operatore è all'esterno dell'operatore gradiente.

Per questo motivo:

{\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }}}

dove ρsi è la densità parziale della  specie i-esima.

Inoltre, il gradiente di potenziale chimico di una specie è la forza trainante per la diffusione di quella specie in sistemi chimici diversi dalle soluzioni o miscele perfette. Quindi la prima legge della teoria di Fick (in una singola dimensione) può essere formulata.

J_i = - \frac{D c_i}{RT} \frac{\partial \mu_i}{\partial x}

dove

L'i-esima specie è indicata dall'indice i.

c è la concentrazione (mol/m3).

R è la costante universale dei gas (J/K/mol).

T è la temperatura assoluta (K).

μ è il potenziale chimico (J/mol).

Il differenziale di fugacità è il fattore trainante alla base della legge di Fick:

{\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}}}

Fugacità f_{i} ha unità Pa.

f_{i} è una pressione parziale del componente I in fase vapore {\displaystyle f_{i}^{G}} o liquida {\displaystyle f_{i}^{L}} .

All'equilibrio del liquido vapore il flusso di evaporazione è nullo perché {\displaystyle f_{i}^{G}=f_{i}^{L}} .

Qui troverai quattro diverse formulazioni della legge di Fick per le miscele di gas binarie. Questi presuppongono o una pressione costante o