Trasformata del radon: Svelare modelli nascosti nei dati visivi

Di Fouad Sabry

Cos'è la trasformata del Radon

In matematica, la trasformata del Radon è la trasformata integrale che porta una funzione f definita sul piano in una funzione Rf definita sul (due- dimensionale) spazio delle linee nel piano, il cui valore su una particolare linea è uguale all'integrale della funzione su quella linea. La trasformata fu introdotta nel 1917 da Johann Radon, che fornì anche una formula per la trasformata inversa. Radon includeva inoltre formule per la trasformazione in tre dimensioni, in cui l'integrale viene ripreso sui piani. Successivamente è stato generalizzato agli spazi euclidei di dimensione superiore e più in generale nel contesto della geometria integrale. L'analogo complesso della trasformata del Radon è noto come trasformata di Penrose. La trasformata Radon è ampiamente applicabile alla tomografia, la creazione di un'immagine dai dati di proiezione associati alle scansioni trasversali di un oggetto.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Trasformata di Radon

Capitolo 2: Trasformata di Fourier

Capitolo 3: Bessel funzione

Capitolo 4: Teorema di convoluzione

Capitolo 5: Trasformata discreta di Fourier

Capitolo 6: Serie di Fourier

Capitolo 7: Integrazione per parti

Capitolo 8: Trasformata di Fourier frazionaria

Capitolo 9: Trasformata di Mellin

Capitolo 10: Kernel di Poisson

(II) Rispondere alla domanda domande principali del pubblico sulla trasformazione del radon.

(III) Esempi reali dell'utilizzo della trasformazione del radon in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di trasformazione del radon.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 28 apr 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Trasformata del radon

Per ogni funzione f definita sul piano, la trasformata di Radon la mappa su una funzione Rf definita sullo spazio (bidimensionale) delle rette nel piano, dove il valore di Rf in una data retta è l'integrale di f lungo quella retta. Johann Radon descrisse per la prima volta la trasformazione nel 1917 e fornì anche una formula per la sua inversa. L'integrale viene valutato sui piani, come si vede nelle formule di trasformazione tridimensionale di Radon (l'integrazione su linee è nota come trasformata a raggi X). Alla fine è stato esteso al di fuori del regno della geometria integrale e agli spazi euclidei di dimensione superiore. La trasformata di Penrose è la versione sofisticata della trasformata di Radon. In tomografia, in cui un'immagine viene ricostruita dai dati di proiezione associati alle scansioni in sezione trasversale di un oggetto, viene comunemente utilizzata la trasformata di Radon.

Se una funzione f rappresenta una densità sconosciuta, Quando una scansione tomografica è completata, i dati di proiezione sono rappresentati dalla trasformata di Radon.

Poiché la trasformata di Radon può essere invertita, la densità originale può essere ricostruita dai dati di proiezione, fornendo così la base matematica per la ricostruzione tomografica, analogamente alla tecnica di ricostruzione iterativa.

Poiché la trasformata di Radon di una sorgente puntiforme non centroidale è una sinusoide, i dati risultanti sono spesso indicati come sinogramma. Di conseguenza, la trasformata di Radon di un insieme di piccoli oggetti appare come un mucchio di onde sinusoidali imbrattate di varie ampiezze e fasi in un diagramma.

La trasformata di Radon ha applicazioni nella sismologia a riflessione, nella tomografia assiale computerizzata (CAT), nella microscopia elettronica di assemblaggi macromolecolari tra cui virus e complessi proteici e nella soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali iperboliche.

Sia {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)} una funzione che soddisfa le tre condizioni di regolarità:

{\displaystyle f({\textbf {x}})} è continuo; l'integrale doppio {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} , che copre l'intero terreno, converge; per ogni punto arbitrario (x,y) del piano si tiene che

{\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}

Passando ad una matrice di Radon, Rf , è una funzione definita sullo spazio delle rette {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} dall'integrale di retta lungo ciascuna di tali rette come:

{\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}

Concretamente, la parametrizzazione di una qualsiasi retta L rispetto alla lunghezza  dell'arco z può sempre essere scritta:

{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}

dove s è la distanza L di dall'origine e \alpha è l'angolo che il vettore normale a L fa con l' X asse -.

Ne consegue che le grandezze {\displaystyle (\alpha ,s)} possono essere considerate come coordinate sullo spazio di tutte le rette in \mathbb {R} ^{2} , In questi assi, la trasformata di Radon è definita come:

{\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}

Più in generale, nello n spazio euclideo -dimensionale \mathbb {R} ^{n} , la trasformata di Radon di una funzione f che soddisfa le condizioni di regolarità è una funzione Rf sullo spazio \Sigma _{n} di tutti gli iperpiani in \mathbb {R} ^{n} .

Per dirla semplicemente:

{\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}

quando l'integrale è fatto in termini di misura di ipersuperfici naturali, d\sigma (generalizzando il {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } termine dal 2 caso -dimensionale).

Si osservi che ogni elemento di \Sigma _{n} è caratterizzato come luogo di soluzione di un'equazione \mathbf {x} \cdot \alpha =s , dove {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} è un vettore unitario e {\displaystyle s\in \mathbb {R} } .

Quindi la n trasformata di Radon -dimensionale può essere riscritta come funzione su {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} } via:

{\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}

E' anche possibile generalizzare ulteriormente la trasformata di Radon integrando invece sottospazi k affini sovradimensionali di \mathbb {R} ^{n} .

Un'applicazione comune di questa struttura è la trasformazione dei raggi X e l'integrazione lungo linee curve.

Esiste una stretta relazione tra la trasformata di Radon e la trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier di una singola variabile è definita come:

{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}

Per una funzione di un 2 -vettore \mathbf {x} =(x,y) , la trasformata di Fourier in una dimensione:

{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}

Per comodità, indicare {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} .

Come corollario, il teorema della fetta di Fourier afferma:

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}

dove \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).

Quindi la trasformata di Fourier bidimensionale della funzione iniziale lungo una retta all'angolo di inclinazione \alpha è l'unica trasformata di Fourier variabile della trasformata di Radon (acquisita ad angolo \alpha ) di quella funzione.

La trasformata di Radon e la sua inversa possono essere calcolate utilizzando queste informazioni.

Questo risultato è n-dimensionalmente generalizzabile:

{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}

Un adiacente alla trasformata di Radon è la trasformata duale di Radon.

A partire da una funzione g sullo spazio \Sigma _{n} , la trasformata di Radon duale è la funzione {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} su Rn definita da:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}

L'integrale qui è preso sopra l'insieme di tutti gli iperpiani incidenti con il punto {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} , e la misura d\mu è l'unica misura di probabilità sull'insieme {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} invariante sotto rotazioni attorno al punto \mathbf {x} .

In particolare, la trasformata duale della trasformata di Radon in dimensione due è data da:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}

Poiché la doppia trasformazione sbava o proietta una funzione specificata su ogni linea del piano sulla linea per creare un'immagine, viene spesso definita retroproiezione nel campo dell'elaborazione delle immagini.

Denotiamo \Delta l'on laplaciano \mathbb {R} ^{n} definito da:

{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}

Si tratta di un operatore differenziale del secondo ordine che è rotazionalmente invariante per definizione.

Su \Sigma _{n} , anche la derivata seconda radiale Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s) è rotazionalmente invariante.

Per questi due operatori differenziali, la trasformata di Radon e il suo duale sono operatori accoppiati nel senso che:

{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}

La rappresentazione traslazionale di Lax e Philips si basa sulla proprietà dell'intreccio, utile per analizzare le soluzioni dell'equazione d'onda in uno spazio superiore a quello tridimensionale. Questa viene utilizzata come tecnica di suddivisione dimensionale per semplificare i problemi multidimensionali in problemi unidimensionali.

Il processo di ricostruzione produce l'immagine (o la funzione f nella sezione precedente) dai suoi dati di proiezione.

Problemi inversi come la ricostruzione.

Per la semplice situazione di due dimensioni, la formula analitica più comunemente usata per recuperare f dalla sua trasformata di Radon è la Formula di retroproiezione filtrata o Formula di inversione del radon:

{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }

dove h è tale che {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} .

Il kernel di convoluzione h è indicato come filtro Ramp in letteratura.

Intuitivamente, la formula per la retroproiezione filtrata, simile a come funziona la differenziazione, per la quale {\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)} , Il filtro sembra svolgere una funzione analoga a una derivata.

In parole povere, quindi, il filtro conferisce al tutto un'identità più distinta.

L'inversione del radon è quantitativamente indicata come segue:

{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}

dove {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}} è l'adiacente precedentemente definito alla trasformata di radon.

Quindi per {\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} , si ha:

{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}

L'esponenziale complesso {\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} è quindi un'autofunzione di {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}} con autovalore {\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}} .

Quindi i valori singolari di {\mathcal {R}} are {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}} .

Poiché questi valori singolari tendono a {\displaystyle 0} , {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} è illimitato.

La ricostruzione iterativa è più impegnativa dal punto di vista computazionale rispetto all'approccio di retroproiezione filtrata, il che ne limita l'uso. Tuttavia, in presenza di discontinuità o rumore, l'approccio della retroproiezione filtrata potrebbe non essere fattibile a causa della cattiva posizione dell'inversione del radon. Molti ricercatori sono interessati ai metodi di ricostruzione iterativa (come la varianza minima asintotica sparsa iterativa) perché hanno il potenziale per ridurre gli artefatti metallici, il rumore e il dosaggio nell'output ricostruito.

La trasformata del radon e le sue formule di inversione sono disponibili e sono sia esplicite che computazionalmente efficienti.

La trasformata del Radon in n dimensioni può essere invertita con la formula:

{\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}

dove {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} , e la potenza del Laplaciano {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} è definita come un operatore pseudo-differenziale se necessario dalla trasformata di Fourier:

{\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}

Calcolo basato sulla logica, la potenza del Laplaciano viene commutata con la trasformata duale R^{*} per dare:

{\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}

dove {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}} è la trasformata di Hilbert rispetto alla  variabile s.

Utilizzando solo due assi, l'operatore {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}} appare nell'elaborazione delle immagini come un filtro di rampa.

Si può dimostrare direttamente dal teorema della fetta di Fourier e dal cambiamento di variabili per l'integrazione che per una funzione continua supportata in modo compatto {\displaystyle f} di due variabili:

{\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}H_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}

Così, in un contesto di elaborazione delle immagini, l'immagine originale {\displaystyle f} può essere recuperata dai dati del 'sinogramma' {\displaystyle Rf} applicando un filtro di rampa (nella s