Correlazione incrociata: Sbloccare i modelli nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Cos'è la correlazione incrociata

Nell'elaborazione del segnale, la correlazione incrociata è una misura della somiglianza di due serie in funzione dello spostamento di una rispetto all'altra. Questo è noto anche come prodotto scalare o prodotto interno scorrevole. Viene comunemente utilizzato per cercare in un segnale lungo una caratteristica più breve e nota. Ha applicazioni nel riconoscimento di pattern, nell'analisi di singole particelle, nella tomografia elettronica, nella media, nella crittoanalisi e nella neurofisiologia. La correlazione incrociata è di natura simile alla convoluzione di due funzioni. In un'autocorrelazione, che è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso, ci sarà sempre un picco con un ritardo pari a zero e la sua dimensione sarà l'energia del segnale.

Come farai beneficio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Correlazione incrociata

Capitolo 2: Autocorrelazione

Capitolo 3: Matrice di covarianza

Capitolo 4: Stima delle matrici di covarianza

Capitolo 5: Covarianza incrociata

Capitolo 6: Autocovarianza

Capitolo 7: Metodi bayesiani variazionali

Capitolo 8: Distribuzione gamma normale

Capitolo 9: Algoritmo di massimizzazione delle aspettative

Capitolo 10: Griffiths disuguaglianza

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sulla correlazione incrociata.

(III) Esempi reali dell'utilizzo della correlazione incrociata in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che desiderano andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di correlazione incrociata.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 10 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Correlazione incrociata

La correlazione incrociata viene utilizzata nell'elaborazione del segnale per quantificare il grado in cui due serie sono comparabili in funzione del loro spostamento relativo. Un prodotto scalare scorrevole (o prodotto interno scorrevole) è un altro nome per questo concetto. In genere viene impiegato per setacciare un segnale lungo alla ricerca di una caratteristica discreta e predeterminata. Può essere utilizzato in una varietà di campi, tra cui la neurofisiologia, la crittanalisi, la media e il riconoscimento di modelli. La convoluzione tra due funzioni è analoga alla correlazione incrociata. L'energia di un segnale è rappresentata da un picco a un ritardo pari a zero in un'autocorrelazione, che è la correlazione incrociata con se stesso.

Statistica e probabilità, il termine correlazioni incrociate si riferisce alle correlazioni tra le entrate di due vettori casuali \mathbf {X} e \mathbf {Y} , mentre le correlazioni di un vettore casuale \mathbf {X} sono le correlazioni tra le voci di \mathbf {X} se stesso, quelle che formano la matrice di correlazione di \mathbf {X} .

Se ciascuna di \mathbf {X} e \mathbf {Y} è una variabile casuale scalare che si realizza ripetutamente in una serie temporale, allora le correlazioni delle varie istanze temporali di \mathbf {X} sono note come autocorrelazioni di \mathbf {X} , e le correlazioni incrociate di \mathbf {X} con \mathbf {Y} attraverso il tempo sono correlazioni incrociate temporali.

Statistica e probabilità, Le correlazioni sono sempre standardizzate in modo che possano assumere valori compresi tra 1 e +1 come parte della loro definizione.

Se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti con funzioni di densità di probabilità f e g , rispettivamente, allora la densità di probabilità della differenza Y-X è formalmente data dalla correlazione incrociata (nel senso dell'elaborazione del segnale); f\star g tuttavia, nei campi della probabilità e della statistica, non utilizziamo questo linguaggio.

Al contrario, la convoluzione f*g (equivalente alla correlazione incrociata di f(t) e {\displaystyle g(-t)} ) fornisce la funzione di densità di probabilità della somma X+Y .

Per le funzioni continue f e g , definizione di correlazione incrociata:

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}

che è lo stesso di

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}

dove {\displaystyle {\overline {f(t)}}} denota il complesso coniugato di f(t) , ed \tau è detto spostamento o ritardo.

Per altamente correlati f e g che hanno una massima correlazione incrociata in un particolare \tau , una caratteristica in f at t si verifica anche più tardi in g at t+\tau , quindi g potrebbe essere descritta come lag f da \tau .

Se f e g sono entrambe funzioni periodiche continue di periodo T , l'integrazione da -\infty a \infty è sostituita dall'integrazione su qualsiasi intervallo {\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]} di lunghezza T :

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}

che è lo stesso di

{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}

La correlazione incrociata è definita in modo simile per le funzioni discrete:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}

che è la stessa cosa di:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}

Per le funzioni discrete finite {\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}} , la definizione di correlazione incrociata (circolare) è:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}

che è la stessa cosa di:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}

Per funzioni discrete finite {\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}} , {\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}} , definizione di correlazione incrociata del kernel:

{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}

dove

{\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}

è un vettore di funzioni del kernel {\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} } e {\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}} è una trasformata affine.

In particolare, {\displaystyle T_{i}(\cdot )} può essere la trasformazione di traslazione circolare, la trasformazione di rotazione, l'inversione delle scale, ecc.

La correlazione incrociata viene espansa dallo spazio lineare a quello del kernel per mezzo della correlazione incrociata del kernel.

Equivarianza tra correlazione incrociata e traduzione; Qualsiasi trasformazione affine non ha alcun effetto sulla correlazione incrociata del kernel, inclusa la traslazione, la rotazione, la scala, ecc.

A titolo illustrativo, si considerino due funzioni a valori reali f che g differiscono solo per uno spostamento sconosciuto lungo l'asse x.

Si può usare la correlazione incrociata per trovare quanto g deve essere spostato lungo l'asse x per renderlo identico a f .

La formula essenzialmente fa scorrere la g funzione lungo l'asse x, integrando i loro prodotti in ogni posizione richiesta.

Quando i loro scopi sono congruenti, il valore di (f\star g) è massimizzato.

Perché quando i punti più alti (le aree positive) si verificano di fila,, Hanno un impatto significativo sull'integrale.

Allo stesso modo, quando i punti bassi (depressioni) coincidono, poiché il prodotto di due numeri negativi è positivo, contribuiscono anche positivamente all'integrale.

Con funzioni a valori complessi f e g , prendendo il coniugato di f si assicura che i picchi allineati (o depressioni allineate) con componenti immaginarie contribuiranno positivamente all'integrale.

In econometria, la correlazione incrociata ritardata è talvolta indicata come autocorrelazione incrociata.: pag.

⁷⁴

La correlazione incrociata delle funzioni f(t) e g(t) è equivalente alla convoluzione (indicata con * ) di {\displaystyle {\overline {f(-t)}}} e g(t) .

Cioè:

{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).}{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).}

Se f è una funzione hermitiana, allora {\displaystyle f\star g=f*g.}

Se entrambi f e g sono hermitiani, allora f\star g=g\star f .

{\displaystyle \left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}

.

In modo simile al teorema della convoluzione, il teorema della correlazione incrociata afferma che

{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},}

dove {\mathcal {F}} denota la trasformata di Fourier, e an {\overline {f}} indica ancora il complesso coniugato di f , poiché {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}} .

Insieme a implementazioni efficienti della trasformata di Fourier, questa caratteristica è spesso utilizzata per velocizzare i calcoli numerici di correlazione incrociata (vedi correlazione incrociata circolare).

Secondo il teorema di Wiener-Khinchin, la correlazione incrociata può essere calcolata dalla densità spettrale.

La correlazione incrociata di una convoluzione di f e h con una funzione g è la convoluzione della correlazione incrociata di g e f con il kernel h :

{\displaystyle g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h} .

Per i vettori casuali {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})} e {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})} , costituiti da componenti casuali con media e deviazione standard note, la matrice di correlazione incrociata di \mathbf {X} e \mathbf {Y} è definita da: p.337

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}

e ha dimensioni m\times n .

Scrittura basata su componenti:

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}

I vettori \mathbf {X} casuali e \mathbf {Y} non devono necessariamente avere la stessa dimensione, entrambi possono assumere la forma di valori scalari.

Ad esempio, se {\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)} e {\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)} sono vettori casuali, allora {\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }} è una {\displaystyle 3\times 2} matrice la cui (i,j) -esima voce è {\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]} .

Se {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})} e {\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})} sono vettori casuali complessi, comprendenti variabili aleatorie con valori e distribuzioni note, la matrice di correlazione incrociata di \mathbf {Z} e \mathbf {W} è definita da

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}

dove {\displaystyle {}^{\rm {H}}} denota la trasposizione hermitiana.

Statistica e analisi delle serie temporali, La correlazione incrociata tra due processi casuali misura la relazione tra i loro valori nel tempo, rispetto all'intervallo tra i due.

Sia {\displaystyle (X_{t},Y_{t})} una coppia di processi casuali, e t sia un punto qualsiasi nel tempo ( t può essere un numero intero per un processo a tempo discreto o un numero reale per un processo a tempo continuo).

Allora X_{t} è il valore (o realizzazione) prodotto da una data esecuzione del processo al tempo t .

Supponiamo che il processo abbia