Metodo di impostazione del livello: Avanzamento della visione artificiale, esplorazione del metodo dell'impostazione dei livelli

Di Fouad Sabry

Che cos'è il metodo Level Set

Il metodo Level-set (LSM) è un quadro concettuale per l'utilizzo dei set di livelli come strumento per l'analisi numerica di superfici e forme. LSM può eseguire calcoli numerici che coinvolgono curve e superfici su una griglia cartesiana fissa senza dover parametrizzare questi oggetti. LSM semplifica l'esecuzione di calcoli su forme con spigoli vivi e forme che cambiano topologia. Queste caratteristiche rendono LSM efficace per modellare oggetti che variano nel tempo, come un airbag che si gonfia o una goccia d'olio che galleggia nell'acqua.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Metodo del set di livelli

Capitolo 2: Equazioni di Navier-Stokes

Capitolo 3: Funzione di Green

Capitolo 4: Emoreologia

Capitolo 5: Modello autoregressivo

Capitolo 6: Strato limite di Blasius

Capitolo 7: Diminuzione della variazione totale

Capitolo 8: Teorema di Godunov

Capitolo 9: Metodo del reticolo vorticoso

Capitolo 10: Modello del campo di fase

( II) Rispondere alle principali domande del pubblico sul metodo dell'impostazione dei livelli.

(III) Esempi reali dell'utilizzo del metodo dell'impostazione dei livelli in molti campi.

Chi è questo libro per

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che desiderano andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di metodo di impostazione dei livelli.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 12 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Metodo di impostazione dei livelli

Quando si tratta di analisi numerica di superfici e forme, i metodi LSM (Level-Set Methods) forniscono una base concettuale per l'utilizzo di set di livelli. Il modello level-set è utile perché permette di eseguire calcoli numerici che coinvolgono curve e superfici su una griglia cartesiana fissa senza la necessità di parametrizzare questi oggetti (questo è chiamato approccio euleriano). La tecnica del level-set facilita anche il tracciamento senza sforzo delle strutture che subiscono cambiamenti topologici, come quelle che subiscono biforcazione, occlusione o l'inverso di questi processi. Queste caratteristiche rendono l'approccio level-set utile per simulare fenomeni che cambiano nel tempo, come il gonfiaggio di un airbag o una goccia d'olio che galleggia nell'acqua.

Il diagramma di destra approfondisce numerosi punti chiave dell'approccio basato su livelli.

Si può distinguere una forma nell'angolo in alto a sinistra; cioè uno spazio contenuto con un bordo ordinato.

Al di sotto di essa, la superficie rossa è il grafico di una funzione di insieme di livello \varphi che determina questa forma, in cui l'area blu rappresenta il piano xy.

Il contorno della forma è quindi l'insieme del livello zero di \varphi , mentre la forma stessa è l'insieme dei punti nel piano per i quali \varphi è positivo (interno della forma) o zero (al contorno).

Nella prima colonna, la forma subisce una trasformazione topologica mediante biforcazione. Parametrizzare i contorni della forma e tracciarne l'evoluzione per fornire una descrizione numerica di questa transizione sarebbe impegnativo. Per creare parametrizzazioni per le due curve risultanti, è necessario un algoritmo in grado di identificare il punto in cui la forma si divide a metà. Al contrario, la funzione di impostazione del livello si è convertita solo verso il basso nella riga inferiore. In casi come questi, in cui la gestione della forma stessa richiederebbe di pensare e tenere conto di tutte le diverse deformazioni che la forma potrebbe subire, può essere molto più conveniente lavorare con la forma tramite la sua funzione di impostazione dei livelli.

Pertanto, all'interno di un singolo piano, il metodo dell'impostazione del livello equivale a rappresentare una curva chiusa \Gamma (come il contorno della forma nel nostro esempio) utilizzando una funzione ausiliaria \varphi , in breve la funzione di impostazione del livello.

\Gamma è rappresentato come l'insieme di livello zero di \varphi by

{\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},}

e il metodo level-set manipola \Gamma implicitamente, tramite la funzione \varphi .

Si presume che questa funzione \varphi assuma valori positivi all'interno della regione delimitata dalla curva \Gamma e valori negativi all'esterno.

Se la curva \Gamma si muove nella direzione normale con una velocità v , allora la funzione di impostazione del livello \varphi soddisfa l'equazione dell'insieme di livelli

\frac{\partial\varphi}{\partial t} = v|\nabla \varphi|.

Qui, |\cdot | è la norma euclidea (indicata abitualmente da singole barre nelle equazioni alle derivate parziali), ed è il t tempo.

Un'equazione alle derivate parziali è simile a questa: un'equazione del tipo di Hamilton-Jacobi, ed esistono soluzioni numeriche, ad esempio, usando una griglia cartesiana e differenze finite.

Si consideri un cerchio unitario in {\textstyle \mathbb {R} ^{2}} , che si contrae continuamente su se stesso, cioè

A una velocità costante, tutti i punti sul bordo del cerchio avanzano lungo la direzione della normale che punta verso l'interno.

La sfera diminuirà fino a diventare un punto.

Quando si crea un campo di distanza fin dall'inizio (ad es.

distanza euclidea basata sul segno dalla funzione contorno, interno positivo, esterno (negativo sul primo cerchio), La normale al cerchio è il gradiente normalizzato di questo campo.

Se un valore costante viene sottratto dal campo nel tempo, i campi risultanti avranno un livello zero circolare (il contorno originale) che alla fine si comprime in un punto. Poiché questo è lo stesso dell'integrazione temporale dell'equazione di Eikonal per una velocità del fronte costante, possiamo concludere che.

L'equazione G viene utilizzata per caratterizzare la superficie istantanea della fiamma in combustione.

Nel 1979, Alain Dervieux introdusse l'approccio level-set, che fu poi reso popolare da Stanley Osher e James Sethian. Ha trovato ampio impiego in campi diversi come la biologia computazionale, la geometria computazionale e la fluidodinamica computazionale.

Sono state create diverse strutture di dati di set di livelli per rendere la tecnica di set di livelli più accessibile per l'uso in contesti computazionali.

Fluidodinamica computazionale

Combustione

Pianificazione della traiettoria

Ottimizzazione

Elaborazione di immagini

Biofisica computazionale

Spazio dei parametri e spazio dinamico visualizzati in dinamiche discrete complicate

Per eseguire un modello matematico all'interfaccia di due fluidi, dobbiamo smorzare le interazioni tra i fluidi. Ciò richiede l'uso di una funzione molto particolare: Metodo per la condensazione degli insiemi di livelli.

Come spin off, il compagno di LSM, il CompactLSM, che aiuta nella risoluzione delle equazioni LSM.

Ha applicazioni nella simulazione numerica del flusso, ad esempio, Se l'interazione acqua-aria deve essere discretizzata, allora, compatti del 6° ordine, garantisce una soluzione rapida e precisa delle equazioni all'interfaccia (Monteiro 2018).

L'LSM impiega una funzione di distanza per identificare liquidi specifici. Il valore più piccolo di una funzione di distanza tra il punto di analisi e l'interfaccia è 1. I valori positivi di questa funzione di distanza indicano la presenza di un fluido, i valori negativi indicano la presenza dell'altro e lo zero indica la posizione dell'interfaccia, come mostrato dalle isolinee (2D) o isosuperfici (3D) corrispondenti.

Quando si utilizza l'approccio Compact Level Set, come si incorpora la funzione Heaviside?

A causa della discontinuità della massa specifica e della viscosità al contatto, una gestione inadeguata del fluido vicino all'interfaccia porterà sia a problemi di diffusione eccessiva (allargamento dell'interfaccia) che a oscillazioni numeriche.

Ridurre l'impatto di questi problemi, L'approccio Level Set utilizza una funzione Heaviside graduale e correlata alle celle che definisce in modo esplicito la posizione dell'interfaccia ( \varphi =0 ).

L'interfaccia rimane fluida per tutto il tempo, tuttavia, con uno spessore della stessa scala di una cella, in modo che non si introducano interruzioni alla stessa scala della mesh, a causa del fatto che l'interfaccia implica una transizione discontinua da una cella all'altra (Unverdi e Tryggvason), 1992).

Ricostruendo le caratteristiche del materiale del flusso, come la densità e lo sforzo di taglio, un'altra funzione dei marcatori, {\displaystyle I(\varphi )} il tipo Heaviside è qui impiegato:

dove \delta è un coefficiente empirico, la norma è 1; 5 ed \Delta è la discretizzazione caratteristica del problema, che varia con il fenomeno che si sta modellando.

Il valore di \delta rappresenta un'interfaccia con uno spessore di tre celle e rappresenta quindi {\displaystyle \delta \Delta } la metà dello spessore dell'interfaccia.

Tieni presente che questa tecnica, Spessore virtuale, esiste all'interfaccia, poiché è modellata su una funzione continua.

Le proprietà fisiche, tra cui la viscosità cinematica e la massa specifica, sono calcolate come:

dove \rho _{1} , \rho _{2} , v_{1} e v_{2} sono la massa specifica e la viscosità cinematica dei fluidi 1 e 2.

Analogie simili valgono quando si applica l'equazione 2 alle altre caratteristiche del fluido.

{Fine Capitolo 1}

Capitolo 2: Equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) sono equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono il moto di sostanze fluide viscose, Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes erano gli omonimi. Erano entrambi ingegneri e fisici francesi.

Sono il culmine di decenni di ricerca e sviluppo di teorie incrementali, che vanno dal 1822 (Navier)