Trasformazione affine: Sbloccare le prospettive visive: esplorare la trasformazione affine nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Che cos'è la trasformazione affine

Nella geometria euclidea, una trasformazione affine o affinità è una trasformazione geometrica che preserva linee e parallelismo, ma non necessariamente distanze e angoli euclidei.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Trasformazione affine

Capitolo 2: Mappa lineare

Capitolo 3: Traslazione (geometria)

Capitolo 4: Gruppo affine

Capitolo 5: Spazio affine

Capitolo 6: Matrice di trasformazione

Capitolo 7: Sistema di coordinate baricentriche

Capitolo 8: Spazio di coordinate reali

Capitolo 9: Autovalori e autovettori

Capitolo 10: Composizione automatica di una matrice

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sulla trasformazione affine.

(III) Esempi del mondo reale per l'utilizzo della trasformazione affine in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze di base o informazioni per qualsiasi tipo di trasformazione affine.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 28 apr 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Trasformazione affine

Una trasformazione affine (dal latino affinis, connesso con) è una trasformazione geometrica nella geometria euclidea che mantiene le linee rette e il parallelismo ma cambia le lunghezze e le direzioni degli angoli e delle distanze coinvolte.

Una definizione più generale di trasformazione affine è un automorfismo di uno spazio affine (gli spazi euclidei sono casi speciali di spazi affini), cioè una funzione che mappa uno spazio affine su se stesso mantenendo il rapporto tra le lunghezze dei segmenti di retta parallela. Pertanto, dopo una trasformazione affine, gli insiemi di sottospazi affini paralleli mantengono il loro parallelismo. Le distanze e gli angoli tra le linee non sono sempre mantenuti da una trasformazione affine, ma i rapporti di distanza lungo una linea retta sono mantenuti.

Assumendo che X sia l'insieme di punti di uno spazio affine, possiamo scrivere ogni trasformazione affine su X come la combinazione di una trasformazione lineare su X e una traslazione di X. Non è necessario che il punto di partenza dello spazio affine sia mantenuto invariato durante una trasformazione affine, a differenza di una trasformazione lineare. Di conseguenza, ogni trasformazione affine è lineare, ma non tutte le trasformazioni lineari sono affini.

Le trasformazioni affini includono la traslazione, l'ingrandimento, la riduzione, l'omologia, la somiglianza, la riflessione, la rotazione, la mappatura di taglio e qualsiasi combinazione o sequenza di questi.

Le trasformazioni affini sono quelle trasformazioni proiettive di uno spazio proiettivo che preservano l'invarianza dell'iperpiano all'infinito, definendo lo spazio affine come il complemento dell'iperpiano all'infinito.

Una mappa affine è una forma più generale di trasformazione affine.

Immaginiamo un campo k e uno spazio affine X, Sia V lo spazio vettoriale a cui appartiene.

Una biiezione f da X su se stessa è chiamata trasformazione affine; ciò significa che una mappa lineare g da V a V è ben definita dall'equazione {\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);} qui, come al solito, Il vettore libero dal punto 2 al punto 1 è indicato dalla differenza di questi due punti, e ben definito significa che {\displaystyle y-x=y'-x'} implica che

{\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}

Se X ha almeno due dimensioni, allora esiste una biiezione da X su se stesso, indicata con f, tale che:

Se S è un sottospazio affine di X nella dimensione d, allora f (S) è anche un sottospazio affine di X nella dimensione d.

Ne consegue che f (S) e f (T) sono paralleli se e solo se S e T sono sottospazi affini paralleli di X.

Le trasformazioni affini soddisfano queste due condizioni, che esprimono precisamente ciò che si intende con l'espressione f conserva il parallelismo.

La seconda condizione segue logicamente dalla prima, quindi non possono essere considerate separate.

Uno spazio affine, per definizione, V agisce su X, cosicché, per ogni insieme di due (x, v) in X × V è associato un punto y in X.

Possiamo denotare questa azione con v→(x) = y.

Qui usiamo la convenzione che v→ = v sono due notazioni intercambiabili per un elemento di V.

Fissando un punto c in X si può definire una funzione mc : X → V per mc(x) = cx→.

Assumendo un c, è una mappatura uno-a-uno con questa funzione, e quindi, ha una funzione inversa mc−¹ : V → X data da mc−1(v) = v→(c).

Definendo queste operazioni, possiamo trasformare X in uno spazio vettoriale (rispetto a c)::

{\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}

e

{\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}

Nonostante il fatto che questo spazio vettoriale con origine c debba essere formalmente distinto dallo spazio affine X, in pratica è solitamente indicato con lo stesso simbolo e solo dopo che è stata specificata un'origine si dice che si tratta di uno spazio vettoriale. Questo riconoscimento consente la trasformazione dalla rappresentazione vettoriale a quella puntuale e viceversa.

Per ogni trasformazione lineare λ di V, L(c) è una funzione che può essere definita, λ) : X → X per

{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}

Se è così, L(c), λ) è una trasformazione affine di X che lascia fisso il punto c .

È una mappa lineare da X a un'altra variabile, rappresentata da uno spazio vettoriale con c come centro.

Sia σ qualsiasi trasformazione affine di X.

Prendi un punto c in X e considera la traslazione di X per il vettore {\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}} , indicato con Tw.

Le trasformazioni affini includono le traslazioni, mentre le trasformazioni affini includono la loro composizione.

Alla luce di questo specifico c, esiste un'unica trasformazione lineare λ di V tale che

{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}

In altre parole, se consideriamo X come uno spazio vettoriale, allora ogni trasformazione affine arbitraria di X può essere scritta come la composizione di una trasformazione lineare di X e di una traslazione di X.

Le trasformazioni affini sono tipicamente definite in termini di questa rappresentazione (con la scelta dell'origine che è implicita).

Alla luce di quanto sopra, le mappe affini sono costruite combinando una funzione di traslazione con una mappa lineare.

La moltiplicazione di matrici viene utilizzata per rappresentare mappe lineari nell'algebra vettoriale standard, per rappresentare le traslazioni tramite addizione vettoriale.

Formalmente, nel limite delle dimensioni finite, se la mappa lineare è rappresentata come una moltiplicazione per una matrice invertibile A e la traslazione come l'addizione di un vettore \mathbf {b} , una mappa affine f che agisce su un vettore \mathbf {x} può essere rappresentata come

{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

Con l'aiuto di una matrice avanzata e di un vettore migliorato, non sono necessarie moltiplicazioni multiple di matrici per rappresentare la traslazione e la mappa lineare.

Il metodo richiede l'aggiunta di un 1 finale a tutti i vettori e che la riga inferiore di tutte le matrici sia riempita con zeri, colonna aggiunta più a destra (vettore di traslazione), più un singolo numero nell'angolo in basso a destra.

Se A è una matrice,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

significa la stessa cosa di

{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}

La matrice di trasformazione affine è un altro nome per la matrice aumentata mostrata sopra.

Nella maggior parte dei casi, quando l'ultimo vettore di riga non è limitato a , {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]} La matrice viene convertita in una matrice di trasformazioni proiettive (in quanto può essere utilizzata anche per eseguire trasformazioni proiettive).

Questa rappresentazione mostra l'insieme di tutte le trasformazioni affini invertibili come prodotto semidiretto di K^{n} e {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)} .

La legge della composizione delle funzioni definisce questo gruppo, indicato come gruppo affine.

Quando si moltiplicano matrici e vettori, l'origine viene sempre trasferita all'origine, e quindi non sostituisce mai una traslazione, in cui il punto di partenza deve essere spostato in un'altra posizione.

Aggiungendo la cifra aggiuntiva 1 alla fine di ogni vettore, questa dimensione aggiuntiva può essere pensata come un sottoinsieme dello spazio mappato.

A quel punto, quando la coordinata aggiuntiva è 1, lo spazio originale è contenuto in quella regione più piccola.

Così l'origine dello spazio originario può essere trovata in {\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)} .

Applicando una trasformazione lineare allo spazio di dimensione superiore, possiamo eseguire una traslazione all'interno dello spazio originale (più precisamente, una deformazione in taglio).

Le coordinate omogenee includono, per esempio, quelle usate per descrivere lo spazio di dimensione superiore.

Assumendo un punto di partenza euclideo, il vero spazio proiettivo esiste nelle dimensioni superiori.

Moltiplicando le matrici corrispondenti, è possibile combinare un numero qualsiasi di trasformazioni affini in una sola quando si lavora con coordinate omogenee. Numerose applicazioni nel campo della robotica, della visione artificiale e della computer grafica si basano su questa proprietà.

Se i vettori {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n+1}} sono una base dello spazio vettoriale proiettivo del dominio e se {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dotsc ,\mathbf {y} _{n+1}} sono i vettori corrispondenti nello spazio vettoriale del codominio, allora la matrice aumentata M che realizza questa trasformazione affine

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}

è

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}

Indipendentemente dal fatto che gli spazi vettoriali dominio, codominio e immagine abbiano tutti lo stesso numero di dimensioni, questa formulazione è ancora valida.

Ad esempio, la trasformazione affine di un piano vettoriale è determinata in modo univoco dalla conoscenza di dove i tre vertici ( {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}} ) di un triangolo non degenere sono mappati su ( {\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}} ), indipendentemente dal fatto che il triangolo sia o meno non degenere nel codominio e dal numero di dimensioni del codominio.

Preserva la struttura affine durante:

Quando tre o più punti giacciono lungo la stessa retta, si dice che sono collineari e questa proprietà sopravvive alla trasformazione.

Quando due o più linee subiscono una trasformazione, il loro parallelismo viene mantenuto.

Un insieme che è convesso prima di una trasformazione rimane convesso dopo la trasformazione. Inoltre, i punti estremi dell'insieme trasformato corrispondono ai punti estremi dell'insieme originale.

Rapporti delle lunghezze dei segmenti di retta parallela: per segmenti paralleli distinti definiti da punti p_{1} e p_{2} , p_{3} e p_4 , il rapporto di {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}} e {\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}} è uguale a quello di {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}} e {\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}} .

baricentri per insiemi di punti con pesi diversi.

Considerando che le trasformazioni affini possono essere invertite, la matrice quadrata A che appare nella sua rappresentazione matriciale è invertibile.

Pertanto, la rappresentazione matriciale della trasformazione inversa è

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}

Il gruppo affine è l'insieme delle trasformazioni affini invertibili (da uno spazio affine all'altro), che ha come sottogruppo il gruppo lineare generale di grado n ed è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale di grado n+1 .

Le trasformazioni di similarità formano il sottogruppo dove A è uno scalare moltiplicato per una matrice ortogonale.

Ad esempio, se la trasformazione affine agisce sul piano e se il determinante di A è 1 o −1, allora la trasformazione è una mappatura equiareale.

Il gruppo formato da tali trasformazioni è noto come gruppo equiaffine.

Un'isometria del piano in termini di distanza euclidea è una trasformazione che è sia equi-affine che una similitudine.

Ognuno di questi gruppi ha un sottogruppo di trasformazioni affini positive o  che preservano l'orientamento: quelle in cui il determinante di A è positivo.

Infine, ma non meno importante, questa è la classe delle trasformazioni rigide in tre dimensioni (rotazioni proprie e traslazioni pure).

In presenza di un punto fisso, la trasformazione affine si semplifica in una trasformazione lineare. Questo potrebbe migliorare la nostra capacità di categorizzare e comprendere il cambiamento. Ad esempio, può essere più facile visualizzare il comportamento complessivo di una trasformazione se viene descritta come una rotazione di un certo angolo rispetto a un certo asse, piuttosto che come una combinazione di una traslazione e una rotazione. Tuttavia, questo dipende dalla situazione e dal contesto.

Una mappa affine {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} tra due spazi affini è una mappa sui punti che agisce linearmente sui vettori (cioè i vettori di connessione