Geometria computazionale: Esplorazione di intuizioni geometriche per la visione artificiale

Di Fouad Sabry

Che cos'è la geometria computazionale

La geometria computazionale è una branca dell'informatica dedicata allo studio di algoritmi che possono essere espressi in termini di geometria. Alcuni problemi puramente geometrici derivano dallo studio degli algoritmi geometrici computazionali e anche tali problemi sono considerati parte della geometria computazionale. Sebbene la moderna geometria computazionale sia uno sviluppo recente, è uno dei campi più antichi dell'informatica con una storia che risale all'antichità.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Geometria computazionale

Capitolo 2: Triangolazione di Delaunay

Capitolo 3: Scafo convesso

Capitolo 4: Diagramma di Voronoi

Capitolo 5: Geometria discreta

Capitolo 6: Triangolazione poligonale

Capitolo 7: Albero di copertura minimo euclideo

Capitolo 8: Poligono semplice

Capitolo 9: Triangolazione di punti

Capitolo 10: Triangolazione (geometria)

(II) Risposte le principali domande del pubblico sulla geometria computazionale.

(III) Esempi reali dell'utilizzo della geometria computazionale in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che desiderano andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di geometria computazionale.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 4 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Geometria computazionale

La geometria computazionale è un'area dell'informatica dedicata allo studio di algoritmi che possono essere espressi in termini geometrici. Questi problemi sono anche considerati parte della geometria computazionale. Nonostante il fatto che la moderna geometria computazionale sia un fenomeno relativamente recente, è uno degli argomenti più antichi dell'informatica, con una storia che risale all'antichità.

Al centro della geometria computazionale c'è la complessità computazionale, se i metodi vengono applicati a set di dati molto grandi contenenti decine o centinaia di milioni di punti, questo ha un enorme valore pratico.

In questi casi, la differenza tra O(n2) e O(n log n) può essere la differenza tra giorni e secondi di calcolo.

I progressi nella computer grafica e nella progettazione e produzione assistita da computer (CAD/CAM) hanno fornito la motivazione principale per la formazione della geometria computazionale come materia, tuttavia molti problemi di geometria computazionale sono di natura classica e possono avere origine dalla visualizzazione matematica.

La robotica (pianificazione del movimento e problemi di visibilità), i sistemi informativi geografici (GIS) (localizzazione geometrica e ricerca, pianificazione del percorso), la progettazione di circuiti integrati (progettazione e verifica della geometria IC), l'ingegneria assistita da computer (CAE) (generazione di mesh) e la visione artificiale sono altre importanti applicazioni della geometria computazionale (ricostruzione 3D).

I rami principali della geometria computazionale includono:

La geometria computazionale combinatoria, spesso nota come geometria algoritmica, si occupa di oggetti geometrici discreti. Il termine geometria computazionale è stato usato per la prima volta in questo senso nel 1975, secondo un libro fondamentale sull'argomento di Preparata e Shamos.

La geometria computazionale numerica, nota anche come geometria della macchina, progettazione geometrica assistita da computer (CAGD) o modellazione geometrica, riguarda in gran parte la rappresentazione di oggetti del mondo reale nei sistemi CAD/CAM. Questo ramo può essere visto come una continuazione della geometria descrittiva ed è spesso classificato come un sottocampo della computer grafica o CAD. Dal 1971, il termine geometria computazionale è stato usato in questo senso.)

L'obiettivo primario della ricerca sulla geometria computazionale combinatoria è quello di sviluppare algoritmi efficienti e strutture dati per risolvere problemi espressi in termini di oggetti geometrici fondamentali, come punti, segmenti di linea, poligoni e poliedri.

Fino all'avvento dei computer, molti di questi problemi non erano affatto visti come tali, in quanto sembrano essere così semplici. Si consideri come esempio il problema della coppia più vicina:

Trova i due punti nel piano con la distanza più breve tra loro, dati n punti nel piano.

Si potrebbero determinare le distanze tra ogni coppia di punti, quale numero ci sono n(n-1)/2, quindi scegliere la coppia con la separazione più breve.

Questo algoritmo di forza bruta richiede O(n2) tempo; cioè

Il suo tempo di esecuzione è proporzionale al numero di punti al quadrato.

Un risultato fondamentale nella geometria computazionale è stato lo sviluppo di un algoritmo che richiede O (n log n).

Algoritmi randomizzati con un tempo di esecuzione previsto di O(n), inoltre scoperti.

I problemi fondamentali della geometria computazionale possono essere classificati in modo diverso in base a diversi criteri. Si possono distinguere le seguenti grandi categorie:.

In questa categoria di problemi, viene fornito un input e l'output appropriato deve essere costruito o determinato. Alcuni problemi fondamentali con questo tipo includono:

Scafo convesso: dato un insieme di punti, trova il più piccolo poliedro/poligono convesso che li contiene tutti.

Intersezione di segmenti di linea: determina le intersezioni tra un determinato insieme di segmenti di linea.

Triangolazione di Delaunay

Specificato un insieme di punti, partiziona lo spazio in base a quali punti sono più vicini ai punti dati usando il diagramma di Voronoi.

Programmazione lineare

Data una raccolta di punti, identifica la coppia che ha la distanza più breve tra loro.

Coppia di punti più distanti

Trova, dato un insieme di punti, il cerchio più grande il cui centro giace all'interno del loro guscio convesso e non racchiude nessuno di essi.

Collegare due punti in uno spazio euclideo (con ostruzioni poliedriche) utilizzando il percorso più breve.

Dato un poligono, triangolare il suo interno dividendolo in triangoli.

Generazione di mesh

Operazioni booleane applicate ai poligoni

La complessità computazionale di questa classe di problemi viene valutata in base al tempo e allo spazio (memoria del computer) necessari per risolvere una specifica istanza del problema.

Nei problemi di query geometrica, noti anche come problemi di ricerca geometrica, l'input è costituito da due componenti: il componente dello spazio di ricerca e il componente di query variabile. In genere, lo spazio di ricerca deve essere pre-elaborato in modo che molte query possano essere gestite in modo efficiente.

Un certo numero di questioni fondamentali di indagine geometrica sono:

Pre-elaborare un set di punti per contare rapidamente il numero di punti all'interno di un'area di query.

Produrre una struttura di dati che identifichi in modo efficiente la cella in cui è posizionato un punto di query, dato un partizionamento dello spazio basato su celle.

Vicino più prossimo: pre-elabora un set di punti per determinare rapidamente il punto più vicino a un punto di query.

Ray tracing: dato un insieme di elementi nello spazio, genera una struttura di dati che identifica in modo efficiente il primo oggetto con cui si interseca un raggio di query.

Se lo spazio di ricerca è fisso, la complessità computazionale di questa classe di problemi viene spesso valutata utilizzando:

La quantità di tempo e spazio di archiviazione necessari per costruire la struttura di dati in cui eseguire la ricerca.

tempo (e occasionalmente spazio extra) per rispondere alle domande.

Fare riferimento a Problemi dinamici quando lo spazio di ricerca può fluttuare.

Un'altra classe significativa è quella dei problemi dinamici, per i quali l'obiettivo è quello di creare una tecnica efficace per localizzare ripetutamente una soluzione a seguito di ogni aggiornamento dei dati