Generazione di maglie: Progressi e applicazioni nella generazione di mesh per la visione artificiale

Di Fouad Sabry

Cos'è la generazione di mesh

La generazione di mesh è la pratica di creare una mesh, una suddivisione di uno spazio geometrico continuo in celle geometriche e topologiche discrete. Spesso queste celle formano un complesso semplice. Di solito le celle partizionano il dominio geometrico di input. Le celle mesh vengono utilizzate come approssimazioni locali discrete di il dominio più grande. Le mesh vengono create da algoritmi informatici, spesso con la guida umana attraverso una GUI, a seconda della complessità del dominio e del tipo di mesh desiderata. Un obiettivo tipico è creare una mesh che catturi accuratamente la geometria del dominio di input, con alta qualità ( celle ben modellate) e senza così tante celle da rendere intrattabili i calcoli successivi. La mesh dovrebbe essere fitta anche nelle aree importanti per i calcoli successivi.

Come trarrai beneficio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Generazione della mesh

Capitolo 2: Metodo degli elementi finiti

Capitolo 3: Equazioni alle derivate parziali

Capitolo 4: Fluidodinamica computazionale

Capitolo 5: Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali

Capitolo 6: Equazioni alle derivate parziali ellittiche

Capitolo 7: Metodo delle differenze finite

Capitolo 8: Continuazione numerica

Capitolo 9: Metodo dei volumi finiti

Capitolo 10: Analisi isogeometrica

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sulla generazione di mesh.

(III) Esempi reali dell'utilizzo della generazione di mesh in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di Mesh Generation.

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 4 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Generazione di mesh

La generazione di mesh è il processo di divisione di uno spazio geometrico continuo in celle geometriche e topologiche distinte per formare una mesh. Spesso, da queste cellule si forma un complesso simpliciale. In genere, le celle dividono il dominio geometrico di input. Come approssimazioni locali discrete del dominio più ampio, vengono utilizzate le celle mesh. A seconda della complessità del dominio e del tipo di mesh ricercata, le mesh sono generate da algoritmi informatici, spesso con l'assistenza umana attraverso una GUI. Un obiettivo comune è quello di produrre una mesh che rappresenti in modo accurato la geometria del dominio di input, abbia celle di alta qualità (ben formate) e non sia eccessivamente densa in modo tale che i calcoli in futuro diventino ingestibili. Inoltre, la mesh deve essere fine (contenere piccoli componenti) nelle regioni cruciali per i calcoli che seguono.

Le mesh vengono utilizzate per la simulazione fisica in programmi come la fluidodinamica computazionale e il rendering sullo schermo di un computer. Le mesh sono costituite da elementi costitutivi di base come i triangoli perché, ad esempio, possiamo eseguire calcoli agli elementi finiti (per l'ingegneria) o ray tracing (per la computer grafica) su triangoli ma non su forme e luoghi più complessi, come un ponte su una strada. Completando i calcoli su ogni triangolo e capendo come interagiscono le interazioni tra i triangoli, possiamo modellare la forza del ponte o rappresentarla sullo schermo di un computer.

La differenza tra mesh organizzata e non strutturata è significativa. Un reticolo regolare, ad esempio una matrice, viene utilizzato nella mesh strutturata con connessione dedotta tra gli elementi. La mesh non strutturata consente l'acquisizione di domini più complessi e la possibilità di modelli irregolari di connessione tra le parti. L'argomento principale di questa pagina sono le mesh non strutturate. Mentre una mesh può essere triangolata, la mesh differisce dalla triangolazione del set di punti in quanto consente l'aggiunta di vertici che non sono stati inclusi nell'input. La stessa libertà di aggiungere vertici esiste quando si sfaccettano (triangolano) i modelli CAD per il disegno, ma l'obiettivo è quello di rappresentare accuratamente la forma con il minor numero di triangoli possibile; La forma dei singoli triangoli non è importante. Le mesh vengono utilizzate al posto delle texture per le rappresentazioni in computer grafica di situazioni di illuminazione realistiche.

Molti programmi di generazione di mesh sono collegati a sistemi CAD che ne definiscono l'input e a programmi di simulazione che ne ricevono l'output. L'input può assumere molte forme diverse, ma quelle tipiche includono nuvole di punti, modellazione solida, modellazione geometrica, NURBS e B-rep.

I termini generazione di mesh, generazione di griglia, mesh e griglia sono spesso usati in modo intercambiabile, ma tecnicamente, gli ultimi due coprono il miglioramento della mesh, che è il processo di alterazione della mesh al fine di accelerare o migliorare la precisione dei calcoli numerici che verranno eseguiti su di essa. Occasionalmente, una mesh viene definita tassellatura sia nel rendering matematico che in quello della computer grafica.

A seconda della loro dimensione e del contesto in cui verrà utilizzata la mesh, le facce della mesh (celle, entità) hanno diversi nomi. Le entità mesh di dimensione più elevata negli elementi finiti sono indicate come elementi, mentre gli spigoli sono 1D e i nodi sono 0D. Le entità 2D sono facce se gli elementi sono 3D. I vertici sono i punti 0D nella geometria computazionale. I tetraedri sono talvolta indicati come tet, mentre triangoli, quadrilateri ed esaedri (cubi topologici) sono indicati rispettivamente come tris, quad e esagoni.

Molte regole di aggiunta di vertici, come il metodo di Ruppert e la triangolazione di Delaunay, sono alla base di diversi approcci di meshing. Una caratteristica unica è l'aggiunta di vertici e triangoli dopo che è stata creata una mesh iniziale grossolana dell'intero spazio. Comparativamente, gli algoritmi anteriori avanzanti introducono elementi in modo incrementale all'interno del dominio a partire dal contorno. I metodi ibridi combinano le due cose. Sottili strati limite di elementi per il flusso del fluido vengono creati utilizzando una classe unica di procedure frontali avanzanti. La mesh completa creata dalla generazione di mesh strutturate è un grafo reticolare, ad esempio una griglia regolare di quadrati. Il dominio è partizionato in sottoregioni di dimensioni considerevoli, ognuna delle quali è una mesh strutturata, in mesh strutturata a blocchi. Alcuni approcci diretti iniziano con una mesh strutturata a blocchi e poi la regolano per adattarla all'input; Per ulteriori informazioni, vedere Generazione automatica di mesh esagonali basate su Polycube. Taglia le celle organizzate dal bordo del dominio come ulteriore modo diretto; veda Scultura del cubo di marcia.

Alcuni tipi di mesh sono sostanzialmente più difficili da realizzare rispetto ad altri. Rispetto alle mesh cubiche, le mesh simpliciali sono in genere più semplici. La generazione di una mesh esagonale conforme a una mesh a quattro superfici fisse è una categoria cruciale, e la ricerca dell'esistenza e della creazione di mesh con particolari configurazioni minuscole, come il trapezio tetragonale, è una sottoarea di ricerca. L'esistenza di mesh esagonali combinatorie è stata studiata separatamente dal problema della produzione di realizzazioni geometriche di alta qualità a causa delle difficoltà di questo argomento. Sebbene gli algoritmi noti producano mesh simpliciali con una garanzia di qualità minima, poche mesh cubiche hanno le stesse garanzie e molte implementazioni ampiamente utilizzate producono esagoni invertiti (al rovescio) da alcuni input.

Anche quando i calcoli successivi sulla mesh verranno eseguiti in parallelo sui supercomputer, le mesh vengono spesso generate in serie sulle workstation. Ciò è dovuto allo svantaggio che la maggior parte dei generatori di mesh sono interattivi e al fatto che la durata della generazione di mesh è spesso trascurabile rispetto al tempo del risolutore. Tuttavia, la mesh viene eseguita in parallelo se la mesh è troppo grande per essere inserita nella memoria di un singolo processore seriale o deve essere modificata (adattata) durante la simulazione.

La funzione di interpolazione matematica funge da base per il processo di generazione della griglia utilizzato in algebra.

Utilizzo di funzionalità ben note in uno, utilizzando sezioni di varie forme in due o tre dimensioni.

È possibile che il dominio di calcolo non sia quadrato, ma per semplificare le cose, si presume che il dominio sia rettangolare.

Il vantaggio principale di questi approcci è che regolano in modo esplicito la forma e la spaziatura della griglia fisica.

La trasformazione di normalizzazione è il metodo più semplice che può essere utilizzato per creare una mesh computazionale adattata a un contorno. Per utilizzare un ugello, con la funzione di descrizione y=x^{2} la griglia può essere facilmente generata utilizzando una divisione uniforme in direzione y con incrementi equidistanti in  direzione x, Sono caratterizzati da

\xi =x\,\eta ={\frac {y}{y_{\max }}}\,

dove y_{\max } indica la coordinata y della parete dell'ugello.

Per i valori dati di ( \xi , \eta ), i valori di ( x , y ) possono essere facilmente recuperati.

Le tecniche di generazione di griglie basate su equazioni differenziali sono simili a quelle utilizzate in matematica. Il vantaggio dell'utilizzo delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) è che la mesh può essere generata sfruttando la soluzione delle equazioni generatrici della griglia. Tutti e tre i tipi di equazioni differenziali alle derivate parziali possono essere utilizzati per creare griglie.

Le soluzioni delle PDE ellittiche sono in genere molto lisce, con contorni uniformi.

massimizzando la sua levigatezza come beneficio Si scoprì che lo jacobiano è positivo come risultato del principio di massimo per le funzioni armoniche, quindi è preferibile utilizzare le equazioni di Laplace.

Dopo un lavoro sostanziale sulle equazioni alle derivate parziali ellittiche per creare griglie è stato fatto da Crowley (1962) e Winslow (1966),.

Nei generatori con una griglia di Poisson, la mappatura viene eseguita contrassegnando i punti desiderati della griglia (x,y) sul contorno del dominio fisico, con la distribuzione dei punti interni determinata risolvendo le seguenti equazioni

\xi _{{xx}}+\xi _{{yy}}=P(\xi ,\eta )\eta _{{xx}}+\eta _{{yy}}=Q(\xi ,\eta )

dove, (\xi,\eta) sono le coordinate nel dominio computazionale, mentre P e Q controllano la spaziatura dei punti all'interno di D.

Cambiando le suddette equazioni nello spazio computazionale si ottiene una coppia di equazioni alle derivate parziali ellittiche della seguente forma:,

\alpha x_{{\xi \xi }}-2\beta x_{{\xi \eta }}+\gamma x_{{\eta \eta }}=-I^{2}(Px_{\xi }+Qx_{\eta })\alpha y_{{\xi \xi }}-2\beta y_{{\xi \eta }}+\gamma y_{{\eta \eta }}=-I^{2}(Py_{\xi }+Qy_{\eta })

dove

{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=x_{\eta }^{2}+y_{\eta }^{2}\\\beta &=x_{\eta }x_{\xi }+y_{\xi }y_{\eta }\\\gamma &=x_{\xi }^{2}+y_{\xi }^{2}\\I&={\frac {\delta (x,y)}{\delta (\xi ,\eta )}}=y_{\eta }x_{\xi }-y_{\xi }x_{\eta }\end{aligned}}}

Questi sistemi di equazioni sono risolti nel piano computazionale su una griglia uniformemente spaziata che ci fornisce le (x,y) coordinate di ogni punto nello