9 e 99 - Curiosità e stravaganze nel mondo dei numeri

Di Paolo Di Lazzaro e Daniele Murra

Che legame c’è tra i triangoli e le probabilità di vincere al Lotto? Come è possibile calcolare a mente in meno di un secondo la somma di tutti i numeri naturali fino ad un milione? Come si può scoprire se una dichiarazione dei redditi nasconde una manipolazione?

Le risposte vengono da alcune insolite proprietà dei numeri naturali che in questo libro sono illustrate in modo semplice ma con il giusto rigore matematico. Numeri triangolari e numeri perfetti, probabilità e caso, giochi d’azzardo e paradossi del concetto di infinito sono gli ingredienti che condiscono le pagine di ‘9 e 99’ il cui titolo è legato ad una legge matematica curiosa ma poco conosciuta.

Accanto alla Matematica divertente e intuitiva, non mancano apposite appendici in cui dettagliate dimostrazioni soddisferanno i lettori più esigenti.

Da Pitagora a Gauss, da Archimede ad Hilbert, da Eulero a Buzzati (passando per Aristotele e Sant’Agostino), il libro propone un inconsueto viaggio nel tempo tra le curiosità nascoste nel mondo dei numeri, mostrando che la Matematica non è una fredda materia scolastica da cui liberarsi al più presto, ma una disciplina dai risvolti piacevoli ed affascinanti.

• Lingua: Italiano
• Editore: Youcanprint
• Data di uscita: 17 ott 2016
• ISBN: 9788892628410

Anteprima del libro

[1].

I sassi di Pitagora, il giovane Gauss e i numeri figurati-poligonali

La figura storica di Pitagora (570 a.C. circa – 495 a.C. circa) è avvolta nella leggenda, non essendoci documenti contemporanei che ne parlino, né sono conosciute sue opere o documenti scritti. I pochi riferimenti a Pitagora risalgono a documenti di epoca più tarda. Persino Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) nei suoi trattati sulla ‘Metafisica’ si limita a parlare della Scuola Pitagorica a Crotone e non del suo fondatore.

Spesso, la Scuola Pitagorica viene descritta come una setta filosofica e mistica, chiusa verso l’esterno. I suoi adepti, oltre a riconoscere l’autorità dogmatica di Pitagora (αὐτὸς ἔφα corrispondente all’ipse dixit, cioè "l’ha detto Lui, quindi è giusto così, è una formulazione pitagorica, prima che aristotelica) dovevano seguire un rigido codice di condotta, con restrizioni comportamentali, relazionali e anche alimentari. I risultati matematici venivano considerati proprietà della scuola, erano collettivi e non venivano mai citati i nomi degli autori delle scoperte. Il filosofo greco Porfirio (III secolo dopo Cristo) riferendosi agli scritti di Dicearco, allievo di Aristotele (III secolo avanti Cristo), scrive: Quanto Pitagora comunicava ai discepoli più stretti, nessuno è in grado di riportare con sicurezza: in effetti presso di loro il silenzio era osservato con grande cura" [1].

Questo atteggiamento di segretezza e chiusura verso l’esterno può giustificare, almeno in parte, la mancanza di fonti contemporanee.

(Introduzione all’aritmetica) afferma che i Pitagorici rappresentavano i numeri naturali tramite configurazioni geometriche di punti, da cui il nome di ‘numeri figurati’ o ‘numeri poligonali’ [2]. Questa tecnica, che Nicomaco chiama ‘Aritmogeometria’, permise di scoprire alcune proprietà dei numeri figurati.

Ad esempio i Pitagorici ottenevano un numero triangolare disponendo i punti, identificati da sassolini, in modo da formare un triangolo equilatero, e contando quanti sassolini erano stati usati.

Per ottenere una serie di numeri triangolari, i Pitagorici formavano una successione di triangoli aggiungendo una riga di sassolini al triangolo precedente, ottenendo una rappresentazione figurata-poligonale come quella riportata nella figura 1.

Figura 1. Rappresentazione figurata dei primi cinque numeri triangolari. Ad eccezione del primo numero, 1, si tratta di poligoni di tre lati e tre angoli, da cui il nome di triangoli.

La prima forma nella figura 1 è un solo sassolino corrispondente al numero 1.

La seconda forma è un triangolo ottenuto aggiungendo due sassolini in basso al sassolino precedente: in tutto abbiamo 1 + 2 = 3 sassolini.

La terza è un triangolo ottenuto aggiungendo 3 sassolini in basso al triangolo precedente: in tutto abbiamo 3 + 3 = 6 sassolini.

La quarta è un triangolo ottenuto aggiungendo 4 sassolini in basso al triangolo precedente: 6 + 4 = 10.

La quinta è un triangolo ottenuto aggiungendo 5 sassolini in basso al triangolo precedente: 10 + 5 = 15.

A questo punto possiamo intuire come funziona la serie dei numeri poligonali triangolari: bisogna sommare al numero precedente il numero corrispondente all’ordine del numero. Ad esempio, se vogliamo aggiungere nella figura 1 il sesto triangolo, esso sarà fatto con 15 + 6 = 21 sassolini, il settimo con 21 + 7 = 28 sassolini, l’ottavo con 28 + 8 = 36 sassolini, e così via. Nella tabella seguente riportiamo la successione dei primi quindici numeri triangolari.

Tabella 1. I primi quindici numeri triangolari.

La tabella 1 mostra che si tratta di una serie formata da due numeri dispari alternati a due numeri pari. Il numero triangolare di ordine N, per come viene ‘costruito’, è uguale alla somma dei primi N numeri. Ad esempio, dalla tabella leggiamo che il decimo numero triangolare è 55, uguale alla somma dei primi dieci numeri: infatti, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Nei secoli successivi, i numeri triangolari e la loro proprietà di fornire la somma dei primi N numeri vengono dimenticati [3]. Finché nel 1786, un insegnante di Matematica di una classe della scuola elementare di Braunschweig, una città dell’attuale Bassa Sassonia in Germania, allo scopo di tenere impegnati e silenti gli studenti, assegnò come compito in classe il calcolo della somma dei primi 100 numeri interi [4]. Il calcolo delle 99 somme richiedeva un tempo notevole, con un’elevata probabilità di incorrere in errore per stanchezza, a dispetto della facilità delle singole operazioni. Sfortunatamente per l’insegnante, nella classe c’era uno studente di nome Carl Friedrich Gauss, il quale impiegò pochi minuti per calcolare e scrivere sulla lavagnetta personale la somma finale esatta, pari a 5050, tra lo stupore dei compagni e dello stesso insegnante.

Come fece Gauss a trovare la somma totale in un tempo così breve? In realtà egli ridusse il calcolo a poche somme a mente, e girò intorno al problema trovando una soluzione brillante e rapida. Scrivendo i numeri da 1 a 50 su una riga da sinistra a destra, e poi i numeri da 51 a 100 in una seconda riga da destra a sinistra, otteniamo:

Gauss osservò che la somma di ciascuna coppia di numeri in colonna dà sempre lo stesso risultato, pari a 101. Si tratta di 50 coppie di numeri, e la somma di ciascuna coppia è pari a 101, quindi la somma totale dei primi cento numeri è data da 50 × 101 = 5.050.

In questo schema, dato il totale di numeri da sommare N = 100, abbiamo moltiplicato N+1= 101 per la metà di N, cioè N/2 = 50.

In pratica, abbiamo applicato la seguente formula:

Il lettore potrebbe pensare che questo metodo funziona, sì, ma solo quando N è pari. Se N è dispari, infatti, non possiamo allineare la prima metà dei numeri con la seconda metà, come fece Gauss.

Se quel maestro avesse chiesto di contare, ad esempio, i primi 99 numeri, cosa avrebbe fatto il piccolo Gauss?

Probabilmente, avrebbe pensato: "Essendo 99 un numero dispari, potrei usare la formula (1) per il numero 98, e poi aggiungerei il termine 99".

Con la terminologia dei matematici, il ragionamento consiste nell’usare la formula (1) mettendo N–1 al posto di N, ed aggiungere N al risultato. Ovvero:

Sviluppando questa equazione troviamo che:

Questa formula è identica alla (1) ottenuta nel caso di un numero N pari! E se una formula applicabile ai numeri naturali è valida sia per i pari che per i dispari, è chiaramente una formula universale.

Oggi la formula (1) è nota come Formula di Gauss, una relazione matematica piuttosto semplice ma, come recita un aforisma di Szent-György, "Lo scoprire consiste nel vedere ciò che tutti hanno visto, e nel pensare ciò che nessuno ha pensato."

Ovviamente, la formula (1) era già nota alla Scuola Pitagorica come formula di ricorrenza dei numeri triangolari, ma il merito di Gauss è di avere dedotto questa formula a soli 9 anni di età, mostrando uno straordinario talento che lo consacrerà in seguito