21 teoremi matematici che hanno cambiato il mondo

Di Maria Helena Souza

Un meraviglioso viaggio per scoprire il mondo attraverso teorie scientifiche

I teoremi matematici interessano solo gli scienziati e le aule universitarie? La risposta di questo libro è: no! E infatti chi leggerà queste pagine si troverà a fare un viaggio appassionante nella storia delle teorie matematiche che hanno cambiato il mondo e che interessano chiunque. Spesso è stata l’esigenza umana di risolvere un problema apparentemente impossibile a dare l’impulso alla formulazione di alcuni dei più celebri teoremi matematici. Altre volte la loro scoperta è stata del tutto casuale o accidentale. La matematica, poi, grazie all’aiuto di altre discipline – la filosofia per prima – è stata in grado di dare un ordine al mondo, così come lo conosciamo, fornendo una spiegazione teorica a tutti i fenomeni che ci circondano. Si può quindi comprendere la bellezza con la teoria dei frattali, misurare la distanza di punti irraggiungibili con il teorema di Talete, o, ancora, calcolare in modo esatto il numero delle perdite riportate dopo una battaglia con il teorema cinese dei resti. Tramite questo libro chiunque lo voglia potrà avvicinarsi a teorie che riteneva distanti e astruse, alle curiosità che le riguardano e alle vite di chi le ha rese note.

È possibile spiegare il mondo attraverso i teoremi matematici?

Il teorema della bisettrice 
I triangoli invadono sempre la geometria 
Il teorema fondamentale dell’aritmetica
Numeri naturali che nascondono dei segreti
Teorema cinese del resto 
I generali cinesi e il conteggio delle truppe
Teorema di D’Alembert 
Equazioni, scontri, dispute e scoperte
Teorema fondamentale del calcolo
Calcolo: infinite divisioni, parti piccole
Teorema di Rice
Calcolo computazionale: guerre, spionaggio e talento

Maria Helena Souza
È insegnante e autrice di libri didattici. Dopo aver conseguito il dottorato di ricerca a São Paulo, ha lavorato per il canale televisivo TV Cultura e ha collaborato alla redazione dei diritti all’apprendimento del PNAIC (Patto Nazionale per l’Alfabetizzazione alla Giusta Età), promosso dal Ministero dell’Istruzione.

• Lingua: Italiano
• Editore: Newton Compton Editori
• Data di uscita: 13 gen 2020
• ISBN: 9788822741028

Anteprima del libro

1.

IL TEOREMA DI PITAGORA

COLLEGAMENTI TRA NUMERI E GEOMETRIA?

La scuola di Pitagora, pur essendo collegata ai numeri, ci ha lasciato in eredità il famoso teorema che presenta significative implicazioni geometriche.

Per comprendere il ruolo del teorema di Pitagora nella storia della matematica, bisogna ripercorrere ciò che veniva considerato un dato di fatto in merito alla nascita della geometria. Si sarebbe sviluppata sulle rive del fiume Nilo in seguito alla necessità di misurare aree di terra che dovevano essere ridistribuite dopo che erano state erose dalle inondazioni. Questa ipotesi è contenuta negli scritti di Erodoto, risalenti al v secolo a.C., in cui si narrano le misurazioni dei terreni per stabilire l’eventuale diminuzione dell’area e ridurre, di conseguenza, le tasse ai rispettivi proprietari.

Convenzionalmente vige l’opinione che la matematica sia nata in Europa all’epoca di Talete di Mileto. Quest’ultimo visse tra il vii e il vi secolo a.C. e subì l’influenza dei babilonesi della Mesopotamia e degli egiziani. L’originalità pitagorica consiste nell’introduzione di un’idea di matematica astratta, diffusasi in Grecia nella prima metà del v secolo a.C., che è stata poi usata come riferimento per i successivi sviluppi introdotti all’epoca di Talete ed Euclide. In questo capitolo si vuole enfatizzare il passaggio da una matematica basata sulle tecniche di calcolo create dai babilonesi e dagli egiziani a una più teorica, praticata dai greci, che si è consolidata in argomentazioni e dimostrazioni consistenti.

CHI ERA

PITAGORA

Non esistono prove che Pitagora sia effettivamente esistito. Si suppone che sia nato nel v secolo a.C. sull’isola di Samo (nel mare Egeo) e che fosse figlio di un mercante. Accompagnando il padre, compì diversi viaggi dall’Egitto alla Ionia, l’attuale Turchia, dove entrò in stretto contatto con alcuni pensatori dell’epoca. Si dice che Pitagora abbia fondato varie scuole di sapere note come scuole pitagoriche, prima a Samo e poi a Crotone, nelle quali sviluppò un sistema di vita, con rituali di purificazione e iniziazioni, che preparavano i discepoli ad armonizzarsi con i numeri per comprenderli meglio. Queste scuole diedero origine alla teoria dei numeri, ovvero la base di tutto quel che si sa oggi a riguardo della scienza e della tecnologia. Venne attribuita a Pitagora l’ideazione della scala musicale pitagorica, particolarmente diffusa nel mondo arabo, a differenza di quella più nota creata da Bach. In Brasile, la scala pitagorica viene soprattutto utilizzata nella musica tipica del nord est del Paese.

Il teorema di Pitagora si è diffuso in tutto l’Occidente. Si dice che esso e la sua dimostrazione siano collegati a situazioni geometriche. È ciò di cui ci occupiamo in questo libro. Il teorema più famoso attribuito a Pitagora stabilisce una relazione tra le misure dei lati di un triangolo rettangolo, come viene enunciato di seguito:

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Si sa che questa relazione era nota a diversi popoli antichi, ma qui non è importante il suo valore storico o stabilire se siano stati i greci i primi a scoprirla; bensì individuare la relazione tra una situazione geometrica e una numerica e spiegare le varie applicazioni, nel passato e nel presente.

La dimostrazione del teorema, contenuta ne Gli elementi di Euclide, si basa su risultati che non erano conosciuti all’epoca della scuola pitagorica. Si può affermare che la dimostrazione non sia stata sviluppata dai pitagorici e che esistono più modi di presentare e dimostrare il teorema di Pitagora.

Figura 1.

Burkett (1972) afferma che il teorema di Pitagora sia molto più numerico che geometrico, in quanto si basa su schemi presenti nei cosiddetti numeri figurati o geometrici: numeri triangolari, quadrati, ecc. Ricorre alle terne pitagoriche, formate da due numeri quadrati e dalla loro somma, che possono essere associate alle misure dei lati di un triangolo rettangolo. Secondo il matematico, alle terne si arrivò grazie allo studio dei numeri dispari, inseriti in riquadri nelle tecniche di calcolo.

Così il numero geometrico quadrato 4 appare rappresentato in una terna, prendendo come base di riferimento il numero quadrato 1 lasciato fuori dai riquadri.

Figura 2.

Il numero quadrato 4 appare nel numero quadrato 9 rappresentato nella terna che lo forma. Nella figura successiva si riconosce chiaramente il numero quadrato 9 nel numero quadrato 16.

Per ottenere il numero 4, che è quadrato, partendo dal numero quadrato 1, basta sommare il numero dispari più vicino a 1, cioè 3. Difatti: 1 + 3 = 4.

Per ottenere il numero quadrato 9, partendo dal numero 4, basta sommare il numero dispari più vicino a 4, cioè 5, ovvero: 4 + 5 = 9.

Per ottenere il numero quadrato 16, basta sommare il numero quadrato 9 al numero dispari 7, ovvero: 7 + 9 = 16.

Figura 3.

La prima terna che rimanda al teorema di Pitagora è formata dai numeri 3, 4, 5, che compongono il numero quadrato 25, dato che 25 = 16 + 9, che è uguale a 4² + 3² = 5². I numeri 3, 4, 5 sono le misure dei cateti dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo. Il disegno qui a lato mostra un triangolo rettangolo che rispetta le terne e tre quadrati che evidenziano la cosiddetta relazione di Pitagora (tra le misure dei lati del triangolo), in quanto possiedono lati di 3, 4, 5 unità.

Figura 4.

Esistono indizi che fanno pensare che le terne fossero note anche ai babilonesi, ma non ci sono prove concrete che la relazione di Pitagora fosse già conosciuta e dimostrata mille anni prima della nascita della scuola pitagorica.

È possibile stabilire una connessione tra la relazione di Pitagora e i nodi di una corda, metodo utilizzato dagli egiziani per formare un triangolo rettangolo, che serviva da punto di partenza per demarcare le terre lungo il fiume Nilo. Si tratta di dodici nodi equidistanti ed equidistribuiti, come dimostra la figura qui a lato. Si notino le misure 3, 4 e 5, prendendo come unità la distanza tra due nodi consecutivi.

Se pieghiamo la corda seguendo queste misure, otterremo un triangolo rettangolo. A questo punto diventa sensato pensare ai numeri e alle relazioni geometriche come basi degli enunciati della scuola pitagorica.

Tutti i triangoli che hanno misure proporzionali alla terna pitagorica (3, 4, 5) sono anche rettangoli (6, 8, 10; 9, 12, 15; ecc.) e vengono denominati triangoli pitagorici. Ma i triangoli pitagorici non sono gli unici a essere rettangoli. Il triangolo i cui lati misurano 5, 12, 13 non è pitagorico, eppure rispetta la relazione di Pitagora:

5² + 12² = 13² o 25 + 144 = 169

CHI ERA

EUCLIDE

Nato ad Alessandria, è autore dell’opera Gli elementi, considerata il migliore sforzo di organizzazione della geometria fino al iii secolo a.C., basato sul sistema assiomatico, che parte da principi, e su quello deduttivo, che associa la geometria pratica a conoscenze più solide. Gli elementi non si occupano soltanto di geometria, ma anche della teoria dei numeri e di concetti musicali.

L’opera ricorre alle costruzioni geometriche fatte con riga e compasso, strumenti diversi da quelli dei giorni nostri. La riga non aveva le tacche di misura e il compasso non aveva due bracci semi fissi che gli permettessero di mantenere l’apertura.

Una curiosità: al giorno d’oggi il punto e la linea retta non sono più considerati enti geometrici. Ne Gli elementi, invece, lo erano perché, in un certo senso, i concetti venivano umanizzati, anche se questa non era l’intenzione di Euclide. Riporto le sue definizioni: il punto è ciò che non ha parti; la linea retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.

Il teorema di Pitagora: una dimostrazione

Un enunciato matematico va sempre dimostrato, in modo che sia vero in qualsiasi caso. Esistono più di trecento dimostrazioni del teorema di Pitagora suddivise in due tipi: quelle geometriche, basate su comparazioni tra aree di poligoni, e quelle algebriche, che utilizzano le relazioni metriche di un triangolo rettangolo.

La dimostrazione più semplice si basa su costruzioni su maglie quadrate, come mostrato nella figura 3 ed è valida per triangoli i cui lati misurano 3, 4 e 5 unità.

In questo libro si è scelto di esporre la dimostrazione fatta dall’agente di cambio inglese Henry Perigal nel 1873, basata su costruzioni geometriche volte a determinare poligoni congruenti, ossia, quelli che hanno gli elementi corrispondenti della stessa misura: lati e angoli. Come prima cosa bisogna disegnare i quadrati sui lati del triangolo rettangolo.

Nella figura 5 abbiamo il triangolo rettangolo ABC e i quadrati CBDE, ACFG e ABIH, con misure uguali a quelle del lato del triangolo corrispondente.

Figura 5.

Sul lato CB, il cateto più grande, è stato costruito il quadrato CBDE, dove sono stati tracciati due segmenti: uno parallelo all’ipotenusa AB e l’altro perpendicolare a esso, entrambi passanti per il centro del quadrato. I segmenti suddividono il quadrato in quattro poligoni congruenti. Le quattro parti, più il quadrato costruito sul lato del cateto più piccolo, formano il quadrato ABIH, che ha i lati della stessa misura dell’ipotenusa.

Il disegno rappresenta un bel modo di dimostrare visivamente il teorema. Se ne avete voglia, potrete provare in modo geometrico che i quattro poligoni contenuti nel quadrato CBDE sono congruenti e che il quadrato minore, dentro al quadrato maggiore, è congruente al quadrato ACFG.

Euclide propose una dimostrazione del teorema di Pitagora ricorrendo a costruzioni geometriche. L’immagine qui a lato mostra la proposizione 47 del libro i dell’opera Gli elementi (figura 6).

Figura 6.

CURIOSITÀ

I NUMERI E LA SCUOLA PITAGORICA

Per accedere alla scuola pitagorica, il candidato (erano accettati soltanto gli uomini) doveva sottomettersi a dure prove, fisiche e psicologiche, allo scopo di dimostrare la sua predisposizione per gli studi matematici e religiosi. In caso di esito positivo, veniva accettato come acusmatico, il che significa che doveva fare voto di silenzio per cinque anni. Gli insegnamenti non erano scritti, ma trasmessi oralmente a coloro che erano pronti ad assimilarli. Gran parte di questo sapere è andato perso, ma sono arrivati fino a noi alcuni concetti curiosi sui numeri:

• Il numero 1 simboleggiava la ragione; il numero 2, l’opinione o l’archetipo femminile; il numero 3, l’archetipo maschile; il numero 4, la giustizia o la donna. Ciascuno di essi corrispondeva a un elemento.

• Esistono numeri perfetti e la perfezione dipendeva dai divisori del numero. Se la somma dei divisori di un numero, escluso quest’ultimo, è maggiore del numero stesso, il numero sarà abbondante; se minore, il numero sarà deficiente; se è uguale, il numero è perfetto.

• Il numero 12 è abbondante, perché 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16; 16 è maggiore di 12.

• Il numero 6 è perfetto, perché 1 + 2 + 3 = 6; la somma è uguale a 6.

• Il numero 4 è deficiente, perché 1 + 2 = 3; 3 è minore di 4.

• I numeri sono considerati amici se la somma dei divisori dell’uno (distinti dal numero stesso) è uguale all’altro e viceversa. I numeri 220 e 284 sono amici.

Somma dei divisori di 220, distinti dal numero stesso:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

Somma dei divisori di 284, distinti dal numero stesso:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Ecco una domanda per voi:

I numeri 120 e 160 sono amici?

I divisori di 120, distinti dal numero stesso sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 e 60.

E quelli di 160? Sono amici?

Applicazione del teorema in matematica e in altre aree del sapere

I numeri irrazionali e lo stupore della scuola pitagorica. È facile pensare delle misure ottenute utilizzando i numeri naturali (interi positivi) o razionali (che possono essere rappresentati come frazioni, con numeratore e denominatore interi e denominatore diverso da zero), oltre che in forma decimale.

Esempio:

2 = 2 / 1 ; - 0,5 = - 1 / 2 ; 0,55…= 5 / 9

I numeri razionali, quando sono espressi nella forma decimale, possono avere la parte dopo la virgola esatta, come:

0,133 = 133 / 1000

oppure che ripete all’infinito un periodo del genere:

0,353535… = 35 / 99

I numeri irrazionali invece non possono essere rappresentati per mezzo di frazioni con numeratore e denominatore interi e hanno una rappresentazione decimale infinita, ma senza un periodo ripetuto. Alcuni esempi: √2 = 1,4142135…; o il π = 3,1415926…; o il numero aureo ϕ = 1,61803398…

Il numero π è presente nei calcoli della circonferenza (2 πr, essendo r il raggio della circonferenza) e nell’area del cerchio (πr²). Il numero ϕ, conosciuto anche come sezione aurea, viene utilizzato nelle misurazioni degli elementi di opere d’arte e d’architettura, come il Partenone. Il rettangolo nella foto evidenzia la relazione tra sezioni considerate armoniose dall’occhio umano: il rapporto tra altezza e larghezza è ϕ. Curiosamente la stessa proporzione la ritroviamo in una carta di credito.

La sezione ϕ è uguale a +√5 / 5

Partenone, Atene, Grecia.

La scuola pitagorica usava come simbolo il pentagramma (stella a cinque punte), costruito a partire dalle diagonali di un pentagono regolare. Nel pentagramma regolare ABCDE, la sezione aurea è presente nelle misure dei segmenti, come tra:

AC e FC e (1+ √5) / 5 = AC / FC

Figura 7.

Le misure irrazionali richiedono che dei triangoli rettangoli vengano costruiti a partire da un triangolo iniziale isoscele, i cui cateti misurino 1, dato che 1² + 1² = 2 e la lunghezza dell’ipotenusa è √2. Le altre misure irrazionali si sviluppano a partire da √2.

Figura 8.

Il teorema di Pitagora creò le condizioni matematiche per confutare ciò che era considerato il cosmo greco anche dalla stessa scuola pitagorica, cioè, un universo finito e gerarchizzato, perché fino ad allora era inconcepibile che un numero potesse essere rappresentato da infinite cifre decimali senza la ripetizione di uno schema e, nonostante ciò, costituire la misura di un segmento.

Com’è possibile pensare a una quantità che non ha fine per misurare le diagonali di un quadrato con lati lunghi 1, che pertanto hanno una dimensione finita? Da qui deriva lo stupore e la realtà, entrambi messi in evidenza dal teorema di Pitagora.

Ingegneria civile: la costruzione dei piani e del tetto. In ingegneria civile il teorema di Pitagora viene applicato per avere angoli retti nella costruzione dei piani, sia tra le pareti, sia tra le pareti e il pavimento. Gli operai chiamano questo procedimento mettere in bolla e utilizzano le misure 3, 4 e 5 per tracciare la superficie che dovrà essere costruita.

Dopo aver tirato su le pareti, si passa alla costruzione del tetto: va stabilita l’inclinazione, che sarà il risultato del rapporto tra altezza e lunghezza della copertura. Gli operai realizzano ciò che viene chiamata posa del tetto e la sua struttura che di solito è in legno.

Figura 9.

L’inclinazione è data dal rapporto e la misura di c è stabilita dal teorema di Pitagora: c²= h²+ b².

Il teorema di Pitagora viene anche utilizzato nella fase finale della costruzione e nelle rifiniture della casa (posa di piastrelle quadrate o rettangolari), quando è necessario tracciare degli angoli retti.

Fisica e biologia: equilibrio delle forze. In fisica esistono grandezze scalari e vettoriali. Quelle scalari sono caratterizzate dalla loro intensità e dall’unità