Logica matematica
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Simone Malacrida
Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.
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Anteprima del libro
Logica matematica - Simone Malacrida
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INDICE ANALITICO
INTRODUZIONE
I – LOGICA MATEMATICA DI BASE
Introduzione
Simbologia
Principi
Proprietà
Logica booleana
Applicazioni della logica: dimostrazione dei teoremi
Applicazioni della logica booleana: i calcolatori elettronici
Approfondimento: il sillogismo e la logica matematica
II – LOGICA MATEMATICA AVANZATA
Teoria degli ordini
Aritmetica di Robinson e di Peano
Sistemi assiomatici
Teoria assiomatica degli insiemi
Teoremi di Godel
Paradossi e antinomie
Altri sistemi logici
III – TEORIA DEI NUMERI
Definizioni
Aritmetica modulare
INTRODUZIONE
In questo libro sono presentati tutti gli argomenti riguardanti la logica matematica che è lo strumento basilare per la comprensione di ogni successiva conoscenza scientifica.
Dapprima sono introdotte le conoscenze di base, quali l’uso dei connettori logici, le definizioni logiche e la terminologia, oltre alla logica booleana e ai principi logici in uso già presso gli antichi.
In seguito, sarà esposta la parte prettamente moderna e contemporanea della logica, come la teoria degli ordini e quella assiomatica degli insiemi, dando ampio spazio ai sistemi assiomatici e ai fondamentali teoremi di Godel, uno dei capisaldi della conoscenza del Ventesimo Secolo.
I paradossi e le antinomie logiche sono un presupposto al superamento della normale logica matematica, verso schemi molto più aperti, come quello delle logiche fuzzy.
Infine, la teoria dei numeri e l’aritmetica modulare sono un banco di prova per la logica stessa, dovendo ancora dimostrare parecchie congetture.
Il taglio del libro è volutamente tecnico e conciso, proprio per perdersi in fronzoli e per dare al lettore un quadro chiaro di una disciplina a metà tra la matematica e la filosofia.
Il primo capitolo può essere comprese mediante conoscenze delle scuole superiori, mentre i successivi due richiedono certamente delle nozioni di carattere universitario.
I
LOGICA MATEMATICA DI BASE
Introduzione
La logica matematica tratta della codifica, in termini matematici, di concetti intuitivi relativi al ragionamento umano.
Essa è il punto di partenza per qualsiasi processo di apprendimento matematico e, pertanto, ha un senso compiuto esporre le regole elementari di tale logica all’inizio dell’intero discorso.
Definiamo assioma un enunciato assunto come vero perché ritenuto evidente di per sé o perché è il punto di partenza di una teoria.
Gli assiomi logici sono soddisfatti da ogni struttura logica e si distinguono in tautologie (enunciati veri per definizione privi di nuovo valore informativo) oppure in assiomi considerati veri a prescindere, non potendone dimostrare la validità universale.
Gli assiomi non-logici non sono mai delle tautologie e prendono il nome di postulati.
Sia gli assiomi sia i postulati sono indimostrabili.
In genere, gli assiomi che fondano e che danno inizio ad una teoria sono detti principi.
Un teorema invece è una proposizione che partendo da delle condizioni iniziali (dette ipotesi) giunge a delle conclusioni (dette tesi) tramite un procedimento logico detto dimostrazione.
I teoremi sono, dunque, dimostrabili per definizione.
Altri enunciati dimostrabili sono i lemmi che, di solito, precedono e danno le basi di un teorema e i corollari che, invece,