Breve storia del pensiero matematico dall'antichità al nostro tempo: con un breve sguardo da un lato alla filosofia della matematica e dall'altro alla tecnica matematica con qualche accenno ad alcune tra le innumerevoli applicazioni Volume 4 Quattordicesima Edizione

Di Umberto Fedeli

Quattordicesima Edizione. Volume 4. Versione del libro in formato ePub.
Questo libro traccia una rapida panoramica, ma percorre un lungo cammino dalle prime speculazioni sui numeri naturali e sui triangoli numerici in terra egiziana fino alle più moderne teorie matematiche astratte ed assiomatiche, ma troviamo pure la fisica classica non relativistica e relativistica, la fisica quantistica, la fisica atomica, l'elettromagnetismo, la termodinamica, la fisica ed ingegneria nucleare, ecc., ecc., nonché brevemente riportate le relative storie, oltre ad argomenti di matematica applicata in particolare riguardo i personal computer, l'informatica e l'ingegneria hardware-software, l'elettronica teorica ed applicata analogica e numerica, le reti sequenziali, la rete Internet, le comunicazioni elettriche, la telefonia fissa e mobile, la multimedialità, teoria delle reti elettriche, teoria dei sistemi e dei controlli automatici, ecc., ed anche scienza delle costruzioni, tecnica delle costruzioni, idraulica, ecc., ecc. E' suddiviso in capitoli e sezioni, ma, per scelta iniziale, non è strutturato in paragrafi, onde sarebbe opportuno usare efficacemente ed efficientemente la casella di ricerca di parole-frasi per entrare nel testo scrivendovi nomi di matematici, fisici, ingegneri, filosofi e pensatori vari, tipi di equazioni algebriche e differenziali, di formule, di funzioni e di tecniche matematiche, nonché nomi di Aziende, società ed organizzazioni note in campo matematico, fisico, ingegneristico, creando anche numerose voci di segnalibro. I lettori lungo il testo vi troveranno molto più di quanto si aspettino.
Da Edizione 13, ogni edizione è composta di 4 Volumi da scaricare separatamente.
La presente edizione contiene la grande parte del contenuto delle edizioni precedenti con qualche loro integrazione e qualche loro modifica od eliminazione, ed in più aggiunge la sua specifica parte in particolare attinente al tempo più recente, ma sarebbe opportuno scaricare e leggere tutte le edizioni pubblicate di questo libro, in volume singolo fino ad Edizione 12, od in 4 volumi da Edizione 13 in poi.
Buona lettura.

• Lingua: Italiano
• Editore: Fedeli Umberto
• Data di uscita: 29 giu 2023
• ISBN: 9791222421667

Anteprima del libro

Umberto Fedeli

BREVE STORIA DEL PENSIERO MATEMATICO DALL'ANTICHITA' AL NOSTRO TEMPO

con un breve sguardo da un lato alla filosofia della matematica e dall'altro alla tecnica matematica con qualche accenno ad alcune tra le innumerevoli applicazioni

Licenza copyright standard.

Libro realizzato da Fedeli Umberto in formato odt tramite OpenOffice e LibreOffice 7.2.

Formattato ed impaginato in formato epub con l'uso di StreetLib Write, Sigil 0.4.905 e 1.8, e con Calibre 0.94 e 5.32. Validazione senza errori effettuata con ePubCheck 4.1.0, 4.2.2, 4,2.4 e 4.2.6 installato (Messaggi: 0 errori fatali/0 errori/0 warning/0 info), e con Sigil 0.4.905 e 1.8 (No problems found!). Leggibile su ebook Reader, PC, notebook, ultrabook, tablet, smartphone.

Indice dei contenuti

Titolo

Indice

Presentazione

Introduzione

Capitolo 1

Capitolo 2

Capitolo 3

Capitolo 4

Capitolo 5

Capitolo 6

Capitolo 7

Capitolo 8 Parte 1

Capitolo 8 Parte 2

Capitolo 9

Capitolo 10

Capitolo 11 Parte 1

Capitolo 11 Parte 2

Capitolo 11 Parte 3

Capitolo 11 Parte 4

Capitolo 11 Parte 5

Capitolo 11 Parte 6

Capitolo 11 Parte 7

Capitolo 11 Parte 8

Capitolo 11 Parte 9

Capitolo 11 Parte 10

Capitolo 11 Parte 11

Capitolo 11 Parte 12

Capitolo 11 Parte 13

Capitolo 11 Parte 14

Capitolo 11 Parte 15

Capitolo 11 Parte 16

Capitolo 11 Parte 17

Capitolo 11 Parte 18

Capitolo 11 Parte 19

Capitolo 11 Parte 20

Capitolo 11 Parte 21

Breve storia del pensiero matematico

Titolo

Umberto Fedeli

Breve storia del pensiero matematico dall'antichità al nostro tempo

con un breve sguardo da un lato alla filosofia della matematica e dall'altro alla tecnica matematica con qualche accenno ad alcune tra le innumerevoli applicazioni

Volume 4. Quattordicesima Edizione

Indice

Indice del libro

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Indice

Presentazione del libro

Introduzione

Capitolo 1      

La matematica dell'antichità

Capitolo 2      

La matematica dell'oriente

Capitolo 3      

La matematica degli arabi

Capitolo 4      

La matematica dal VI al XIV secolo

Capitolo 5      

La matematica del rinascimento

Capitolo 6      

L'avvento della geometria analitica e del nuovo calcolo

Capitolo 7      

L'analisi prende la sua forma

Capitolo 8      

Verso l'avvento del rigore matematico

Capitolo 9      

La nuova geometria, la continuità e la matematica dell'infinito

Capitolo 10    

Verso le vette dell'astrazione

Capitolo 11    

Il nostro tempo, oltre ad uno sguardo rivolto a vecchie e nuove teorie di tutti i tempi

L'ultima voce Breve storia del pensiero matematico dell'Indice contiene il testo completo di questo libro scritto in formato odt e poi formattato in epub per la visualizzazione con layout variabile-flessibile; per cui il lettore può scegliere se leggere i vari Capitoli da Capitolo 1 a Capitolo 11 Parte 21, oppure ugualmente il contenuto dell'ultima voce.

Questo libro (saggistica in campo matematico) è dedicato…

A Prometeo

Come leggiamo in Robert Graves, Prometeo (il suo nome significherebbe preveggente), eroe indoeuropeo, creatore del genere umano, da alcuni pure incluso nel numero dei Titani, aveva assistito alla nascita di Atena dalla testa di Zeus, e la dea stessa gli insegnò l'architettura, l'astronomia, la medicina, l'arte di lavorare i metalli, l'arte della navigazione, e, e... i Numeri e la Matematica, di cui fece dono agli uomini.

 A tutti i lettori del presente libro.

Perchè tutti i caratteri degli alfabeti siano visualizzati correttamente occorre che la stringa seguente non presenti spazi vuoti tra le lettere

AγαjβφωjgπλρθφxyzΔhyεημ{|}|ξρχaaψζδfqη&*[\!js^£½¾ΔΩnΦΞΠΣΨξπaaρσφbnχψωημ&£¼½m¾ΔΩuwΦΞΠΣgΨα

   Questo libro non presenta immagini in copertina, però il lettore può immaginare di trovarvi l'immagine di un mare azzurro fino all'orizzonte, con una stretta striscia quale spiaggia solitaria, vuota e soleggiata (senza bagnanti sdraiati soltanto a prendere il sole), in primo piano recante tracciata a mano sulla sabbia l'equazione: 

eiπ+1=e(elevato iπ)+1=e(elev iπ)+1=0 

ossia l'equazione simbolo dell'intera matematica (in questo testo tutti gli elevamenti a potenza saranno scritti come nell'ultima forma ossia x(elev y)), come abbiamo riportato nel libro, e come pure ritengono molti autori e molti matematici (ovviamente sono quei matematici i quali se non la dicono non sono contenti, ed allora giustamente abbiamo dato una mano anche noi). 

Ora qui sulla sabbia, al limitare della spiaggia, cosa scriverò contro il calare della notte?, e questa domanda è significativa e valida sia in Occidente (secondo alcuni Terra del tramonto) che in Oriente (secondo alcuni Terra dell'aurora); iniziamo anche noi con qualche bella stupidaggine matematica.

Oppure immagini il lettore di visualizzare in copertina la riproduzione fotografica dell'incisione di Albrecht Durer dal titolo Malinconia. Bulino (capolavori incisi). Melencolia I, Durer. Anno 1514. Vi ammiriamo l'uomo attivo creativamente, con impronte neoplatoniche sopra la figura femminile alata, seduta riflessiva su un gradino con un compasso in mano. Ella è circondata dagli attributi della Malinconia (considerata dagli umanisti del XV-XVI sec. e dai neoplatonici come una vera forza dello spirito) attinenti ad attività manuali, riproduzione di figure geometriche, nonché in alto da un quadrato magico. Il quadrato magico è una disposizione a matrice quadrata di numeri interi, in modo tale da dare risultati uguali le somme di essi per righe, per colonne e per diagonali, come nei due noti quadrati magici seguenti (rispettivamente di ordine 4 e somma 34, e di ordine 3 e somma 15), ossia:

primo quadrato magico (ordine 4 e somma 34)

riga1: 16, 3, 2, 13

riga2: 5, 10, 11, 8

riga3: 9, 6, 7, 12

riga4: 4, 15, 14, 1

secondo quadrato magico (ordine 3 e somma 15) 

riga1: 4, 9, 2

riga2: 3, 5, 7

riga3: 8, 1, 6.

Ma, meglio ancora, come riportato pure entro il libro, la giusta immagine di copertina di questo libro immagini il lettore essere la sovrapposizione della tavoletta Plimpton 322 e di una moderna scheda madre di un attuale PC (con processore multi-core a 2-3 GHz e memoria di lavoro RAM di 4-8-16-32-64 GB) ovvero due forme e tecniche di Abaco (tecniche abc, quali strumenti-macchine di calcolo) distanti nel tempo tra loro di 3850 anni circa per collegare simbolicamente due lontanissime tecniche di calcolo, laddove i loro supporti materiali sarebbero argilla-sabbia l'una e sabbia-silicio purificato e drogato l'altra, dato che questo libro non è altro che un nuovo Liber abaci non più antico-medioevale ma più moderno ed attuale; la sabbia è solo sabbia o serve come materiale da costruzione (qui lo vediamo pure in molti esempi), però la sabbia (sabbia pura o silice pura, diossido di silicio SiO2) con l'uso del pensiero matematico PM più spiegare meglio il mondo e pure realizzarlo o realizzarlo (al tempo storico in cui ci troviamo, diciamo pure digitalizzarlo). 

Ma infine si è poi allegata una semplice copertina per tale antico-medioevale-rinascimentale-moderno-contemporaneo e-book di storia della matematica; una copertina fatta dall'autore e non da un grafico quindi una copertina non professionale (proprio come è venuta perché ovviamente si poteva fare ben meglio); poi la si è pure cambiata utilizzando una bella immagine di Uomo vitruviano con autore-titolo-edizione in rilievo uscenti dallo scritto leonardesco. 

La Matematica è la Teoria delle teorie più Coerente e Perfetta del Pensiero elaborato da mente umana, vestita pure della suprema Bellezza che irraggia dal freddo cristallo del mattino di azzurro metallo... 

Riguardo i lettori, questo libro, nonostante la mole, in verità traccia una rapida panoramica, ma percorre un lungo cammino, dalle prime speculazioni sui numeri e sui triangoli numerici in terra egiziana fino alle più moderne teorie matematiche astratte ed assiomatiche, oltre che di matematica applicata in particolare riguardo i personal computer, l'informatica e l'ingegneria hardware e software, la telefonia mobile e la multimedialità. Sarà interessante leggerlo, con comodo dello specifico lettore, seguendo l'ordine dei capitoli (per scelta iniziale non suddivisi in paragrafi), ma per necessità si potrebbe pure usare efficientemente la casella di ricerca di parole-frasi per entrare nel testo scrivendovi nomi di matematici, fisici, ingegneri e pensatori vari, tipi di equazioni, di funzioni e di tecniche matematiche, nonché nomi di Aziende, società ed organizzazioni note in campo matematico-fisico-ingegneristico; piuttosto sarà utile creare qualche centinaio di voci di segnalibro dopo aver cercato gli argomenti di interesse inserendo parole opportune nella casella di ricerca (dico solo per esempio e soltanto in questa sinossi in ordine casuale: Metodo di esaustione; Vita di Gauss; Teoria delle reti elettriche 1; Analisi dei nodi modificata ANM; Apollo 11 e lo sbarco lunare 1; Apollo 11 2; Elon Musk; DSP 1; DSP 2; Apple I, Apple II; Reattori nucleari veloci; Teoria delle particelle elementari 1; Archimede 1; Archimede 2; Equazioni differenziali alle derivate parziali EDDP 1; EDDP 2; Transfiniti; Cantor; Sistemi lagrangiani 1; Meccanica ondulatoria; von Braun; Teoremi di incompletezza 1; Teoremi di incompletezza 2; Nell'anno 2016; Nell'anno 2017; Nell'anno 2018; Nell'anno 2019; Nell'anno 2020; Nell'anno 2021; Nell'anno 2022; Nell'anno 2023; Teorema di Rolle; Harvard; Princeton; Pentodo PL504; Apollo 13; Pentium IV; Vostok 1; Rolling Stones; Tarski; Equazioni diff di tipo iperbolico; WWII; Bourbaki; 2N3055 caratteristiche; 2N3055 2; 2N3442 caratteristiche; Fibonacci; Luca Pacioli; Equazione di Klein-Gordon K-G; Vangelo di Giovanni; Vita di Russell; Classe di tutte le classi 1; Oscillatori a quarzo XTal 1; Texas Instruments 1; von Neumann; Arduino 1; Arduino 2; Tommaso d'Aquino; Formalizzazione; Logicismo 1; Logicismo 2; NE555; Lorentz; Einstein; General Motors; Lorenz SZ; ENIAC; Summit IBM; Relatività generale RG 1; RG 2; Poincarè e la relatività; Heisenberg; Chernobyl; Rouchè-Capelli; Tetto fotovoltaico; Little Boy; Falcon Heavy; Ars Magna; Notre-Dame de Paris; Duomo di Milano; SARS-CoV-2 e Covid-19; Diario breve della pandemia Covid-19; Teorema di Pitagora TP; Ultimo teorema di Fermat UTF 1; Enrico Fermi ed i neutroni termici; Guglielmo Marconi 1; Isaac Barrow; Space Shuttle; Manhattan Project 1; Trinity Test TT; Fat Man; Al-jabr; e centinaia e centinaia di altri). Inoltre il manoscritto non ha subito il processo di editing, sia per ragioni economiche che per non ottenere la solita polpetta stilistica, per cui alcuni lettori potrebbero criticare la formazione delle frasi, la loro lunghezza, il loro incapsulamento, la scarsa leggibilità del testo, ecc., ma si chiede ai lettori solo una maggior attenzione per l'acquisizione delle informazioni e del contenuto di questo poema di matematica pura ed applicata. 

Dopo averlo scaricato, chiunque può utilizzarlo per soli fini propri privati, didattici e di lavoro (ovviamente se dovesse ritenerlo utile, anche se il testo non è stato espressamente pensato per questi scopi) sotto la sua responsabilità riguardo il tipo di uso che ne farà. 

Buona lettura.

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   Il presente libro, più divulgativo, segue però passo passo il cammino di un precedente libro del medesimo autore Storia del pensiero matematico dall'antichità al nostro tempo, con un breve sguardo da un lato alla filosofia della matematica e dall'altro alla tecnica matematica con qualche accenno ad alcune tra le innumerevoli applicazioni (di natura un poco più tecnica, e non pubblicato, o meglio pubblicato tardivamente), a parte l'aggiunta di alcune integrazioni al testo, il cui indice (piuttosto esaustivo) qui pure riportiamo per mostrare meglio il contenuto del presente libro.

Introduzione

Capitolo 1   Nella notte dei tempi ed all'ombra delle piramidi.

Notazione e numerazione geroglifica. Il papiro di Rhind dello anche di Ahmes. Notazione e numerazione ieratica. Le frazioni. Le operazioni aritmetiche. Equazioni algebriche di 1° grado. Aree di semplici figure geometriche. Rudimenti di trigonometria ed il seqt. Il papiro di Mosca. Volume della piramide e del tronco di piramide. Area della superficie di un semicilindro.  

Capitolo 2  I numeri in cuneiforme.

Testi di epoca pre e postletteraria, protoelamiti e protosumerici. La tavoletta di Larsa. Le unità di misura. Notazione e numerazione cuneiforme, notazione posizionale non assoluta per numeri interi e frazioni, base sessagesimale. Operazioni aritmetiche. Equazioni algebriche di 1° grado. I 3 tipi di equazioni di 2° grado, ed alcuni tipi di equazioni di 3° grado. Tavoletta Plimpton contenente le terne pitagoriche. Somma di successioni di potenze e progressioni geometriche. Aree di figure poligonali. Nozioni sul teorema di Talete e sul teorema di Pitagora. 

Capitolo 3  La nascita della matematica greca.

L'alfabeto greco. Talete di Mileto ed i teoremi a lui attribuiti. Pitagora di Samo, le scoperte a lui attribuite e la sua scuola. La dottrina, la teologia, la mistica e la teoria dei numeri. Il teorema di Pitagora. Il sistema di numerazione attico o erodianico. Il sistema di numerazione ionico o alfabetico. Frazioni. Arte logistica ed uso dell'abaco.  

Capitolo 4  L'audacia dei matematici pionieri.

Le origini del triangolo numerico. Le terne pitagoriche, le terne platoniche ed alcune proprietà dei numeri triangolari. I matematici pionieri. La quadratura del cerchio. La duplicazione del cubo. La trisezione dell'angolo. Le lunule e la loro quadratura. Le 4 arti del quadrivio, le 3 arti del trivio: le 7 arti liberali. La dimostrazione dell'incommensurabilità tra grandezze. I 4 paradossi di Zenone. Cenni sulle grandezze discrete e continue. Introduzione dell'algebra geometrica. Cenni sui metodi infinitesimali in terra greca.

Capitolo 5  Il periodo classico.

Socrate. Platone e la sua aritmetica e geometria. Le grandezze commensurabili ed incommensurabili. La dimostrazione matematica, la teoria della dimostrazione e la nozione di teorema. La definizione di rapporto di Eudosso. L'assioma di Archimede. Cenno all'assioma di continuità nella matematica greca. Il metodo di esaustione. I due tipi di curve greche ed i due modi per costruirle. Le sezioni di cono o coniche. Duplicazione del cubo di Menecmo e quadratura del cerchio di Dinostrato. Cenni sull'indivisibile, sull'infinito e sull'infinitesimo attuale. La fondazione del Museo di Alessandria. Le opere di Euclide. Gli Elementi, l'analisi dei 13 libri e dei 2 apocrifi. Archimede, la sua fisica, statica ed idraulica. Assioma e metodo di esaustione in Archimede. Le sue opere. Aree e volumi. Solidi semiregolari. Apollonio di Perga, le sue opere e le due sole pervenuteci. Le Coniche e la loro analisi. Le 3 categorie di curve presso i greci: i luoghi piani (o rette e cerchi), i luoghi solidi (o sezioni coniche) ed i luoghi lineari.

Capitolo 6  Tolomeo e la nascita della trigonometria.

Due astronomi: Aristarco ed Eratostene. Il padre della trigonometria. L'Almagesto (Mathematikè syntaxis), le formule e le tavole di Claudio Tolomeo. Il sistema geocentrico. Le altre opere di Tolomeo. La matematica, la geometria e le macchine elementari di Erone.

Capitolo 7  Ultimi bagliori della matematica greca.

La scarsa propensione della cultura romana per il pensiero matematico. Diofanto e la sua Arithmetica. Le 3 fasi dell'evoluzione dell'algebra. Pappo e la sua Collezione. Gli ultimi matematici occidentali dell'antichità.

Capitolo 8  La matematica dell'Oriente.

Le origini del pensiero cinese e del pensiero matematico cinese. Il Chiu-chang suan-shu ed alcuni dei suoi 246 problemi. Il primo esempio storico di quadrato magico. I 2 originali sistemi di numerazione decimali. L'abaco. Le frazioni comuni e l'applicazione del sistema decimale alle frazioni ed alle misure. La migliore determinazione di π rispetto al valore archimedeo. Le tecnologie e le invenzioni cinesi. Il periodo più importante della matematica cinese. Il Ssu-yuan yu-chien ed il culmine dell'algebra cinese. Il Shu-shu chiu-chang ed il massimo livello dell'analisi indeterminata cinese. Il triangolo aritmetico. Gli aspetti del pensiero matematico cinese dal '600 al nostro tempo. L'antichità indiana, la matematica del Sulvasutra e l'astronomia del Surya Siddhanta. La nascita del concetto anticipatore della funzione seno. La matematica approssimata dell'Aryabhatiya.  I sistemi di numerazione indiani e la notazione posizionale decimale. La nascita dello zero. Le più antiche tavole dei seni e la trigonometria indiana. Le operazioni aritmetiche e le tecniche di calcolo. Equazioni determinate ed equazioni indeterminate. La matematica di Bakshali e di Brahmagupta (aritmetica, calcolo di aree, algebra, analisi indeterminata ed equazione diofantea lineare). Bhaskara, la sua aritmetica, algebra e la soluzione generale dell'equazione di Pell. L'eredità della matematica indiana nei confronti della matematica moderna: il sistema di numerazione indo-arabo e la funzione trigonometrica seno.

Capitolo 9  La Casa del Sapere di Baghdad e l'Al-jabr.

L'avvento del mondo e della cultura araba. La fondazione della Casa del Sapere. Al-Khuwarizmi, il padre dell'algebra e l'Al-jabr wa'l muqabalah, brevemente analizzata. Il traduttore e commentatore Thabit ibn-Qurra, le sue dimostrazioni alternative del teorema di Pitagora e la sua generalizzazione. Al-Karkhi, Abu'l-Wafa. L'astronomia di al-Battani. La trigonometria araba con le sue 6 funzioni, le tavole dei seni e delle tangenti. Ibn-Sina, al-Biruni, ibn-al-Haithan. Le 4 sezioni-parti della matematica araba: aritmetica, algebra, trigonometria, geometria. Il matematico ibn-Yunus e le formule di prostaferesi. Omar Khayyam, scienziato, algebrista (equazioni di 2° e 3° grado), geometra e poeta. Gli ultimi splendori della matematica araba: Nasir Eddin al-Tusi astronomo ed autore del primo trattato di trigonometria circolare e sferica come disciplina indipendente; al-Kashi ed il suo prodigioso valore di π. L'anonimo maestro, e Abu Giafar, e al-Khazin ed i triangoli numerici presso gli arabi. L'astronomia islamica. I problemi di trigonometria sferica posti da esigenze religiose. L'astrolabio. Il sistema tolemaico criticato e modificato: da Abd al-Rahman a Ibn al-Shatir.

Capitolo 10  Dal VI al XIV secolo, e dal Liber abaci alla latitudo formarum.

La matematica dell'alto medioevo ed il livello di trattazione più basso raggiunto nella sua storia. La matematica dei bizantini e degli occidentali. L'introduzione della numerazione indo-araba. Le traduzioni dall'arabo ed i commenti. Leonardo Pisano detto Fibonacci, ed il Liber abaci. Practica geometriae e Liber quadratorum. Il problema del congruo ed i triangoli numerici in Leonardo. I fisici di Parigi ed i logici di Oxford. La critica delle leggi del moto aristoteliche e la regola mertoniana. Nicola Oresme, la latitudo formarum e la rappresentazione delle forme uniformemente difformi. Verso la legge del moto uniformemente accelerato dei gravi in caduta libera di Galileo Galilei e la sua verifica.

Capitolo 11  La matematica del periodo rinascimentale e del primo periodo di transizione: dalla Summa di Luca Pacioli all'Ars Magna di Cardano, dall'algebra letterale di Viète al metodo galileano.

Nicola Cusano, il Regiomontano e le opere astronomiche e trigonometriche. Le vecchie algebre. La Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità di frà Luca Pacioli. Leonardo da Vinci, il suo mondo e la sua matematica. Opere d'algebra del '500 e cossisti-cosisti. Niccolò Tartaglia, Scipione del Ferro, Ludovico Ferrari, Gerolamo Cardano e la sua Ars Magna con la soluzione delle equazioni di 3° e 4° grado. La necessità dei numeri complessi, complessi coniugati, ed il loro ruolo. Copernico ed il nuovo sistema astronomico. I pittori rinascimentali e la nascita della teoria della prospettiva. Viete, l'origine dell'algebra letterale e la sua soluzione delle equazioni di 3° grado. Le relazioni tra radici e coefficienti. Il numero di radici di un'equazione algebrica di grado n. Dall'algebra geometrica, attraverso l'arte analitica, verso la geometria analitica. La nascita della trigonometria analitica. Le formule di prostaferesi, di duplicazione e moltiplicazione degli angoli. La nascita dei logaritmi: John Napier, Henry Briggs e Jobst Burgi. Promozione del sistema decimale nella numerazione, nei pesi e nelle misure. Gli inizi dell'attività di Galileo. Ludolph van Ceulen, Viète ed i nuovi calcoli di π. Il calcolo del tempo e la riforma del calendario. Viete ed il 10° problema di Apollonio. Stevino e la sua statica. La teoria delle coniche, il calcolo di aree e di volumi, e le leggi planetarie di Keplero. L'esordio di Galileo Galilei, il moto uniformemente accelerato e la traiettoria parabolica del moto balistico. Le sue teorie dell'infinitamente piccolo e dell'infinito. La filosofia naturale del rinascimento come fonte prossima della successiva nascita della scienza matematica: dall'animazione-animismo al meccanicismo-meccanismo; finalità, esperienza, causa, anima, forza ed accelerazione. Leonardo da Vinci (colui che spiana la strada), precursore del metodo sperimentale. L'ideale conoscitivo di Keplero (alla soglia dell'origine della scienza matematica) e la teoria dell'armonia. Le fondamenta gettate della futura astronomia scientifica. Vengono ricavate le prime due leggi planetarie. Carteggio tra Keplero e Galileo. Il ruolo della matematica nel metodo scientifico. Il nuovo concetto di materia e la sua conservazione. Il concetto di corpo, la gravità, il concetto di movimento e la meccanica galileana. Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo tolemaico e copernicano di Galileo. Le opinioni astronomiche alla fine del '500. L'accusa, il processo, la sentenza, l'abiura e la successiva riabilitazione di Galileo. Lo sviluppo congiunto della matematica e della nuova fisica. La grandezza continua, indefinitamente divisibile e composta di elementi. Bonaventura Cavalieri, la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota ed il suo concetto di infinitesimale. Verso il concetto unificato ed universale di curve e di figure che maturerà nella geometria analitica. La nascita del nuovo concetto di dimensione e di misurazione in geometria ed in meccanica. La definizione formale e tecnica di aritmetica e la teoria dei numeri: naturali, interi, congruenze, razionali, reali, il postulato di continuità, complessi, cardinali ed ordinali.

Capitolo 12  La Geometria analitica ed il secondo periodo di transizione.

Renè Descartes, la sua vita, il suo mondo. La filosofia e la fisica dei Principia philosophiae, la loro costruzione e la loro coerenza. La gèomètrie e la sua breve analisi. Rapporto tra algebra e geometria, costruzioni geometriche, l'uso sistematico delle lettere, la non omogeneità formale. Traduzione di un problema geometrico in un'equazione algebrica e sua soluzione con minimi mezzi geometrici. Passi avanti di Cartesio nel problema di Pappo. La definizione de luoghi geometrici: curve geometriche e curve meccaniche. L'uso ancora particolare delle coordinate. Il principio fondamentale della geometria analitica debolmente enunciato. La teoria elementare delle equazioni. Le opere di Cartesio. Discours de la mèthode e la sua applicazione alla realtà fisica. La statica e la dinamica cartesiana. Fermat, la sua geometria analitica ed il principio fondamentale. Il metodo dei massimi e dei minimi ed il metodo della tangente; il metodo di differenziazione e di integrazione di Fermat. I primi casi in cui appare la natura inversa dei problemi della tangente e dell'area. Fermat e la teoria dei numeri. I teoremi di Fermat ed il 3° o grande od ultimo teorema dimostrato nel XX sec. da Andrew Wiles. L'induzione matematica. Roberval e Torricelli: tangente ed area della cicloide e volume di rotazione; tangenti alle coniche. Girard Desargues, la teoria proiettiva e la trattazione unitaria delle coniche. La geometria di Pascal. Pascal-Fermat e la nascita della moderna teoria della probabilità. Il triangolo aritmetico. La cicloide generalizzata. Philippe de la Hire e la sua geometria. Mohr, Mascheroni e Mengoli. La geometria analitica di F. van Schooten e di de Witt. Il teorema di Hudde e la regola di Sluse. Christiaan Huygens, il pendolo cicloidale, evolute ed evolventi. John Wallis, la sua geometria delle coniche, l'algebra e l'aritmetizzazione del metodo degli indivisibili. James Gregory e N. Mercatore.  Isaac Barrow, maestro di Newton ed il suo metodo per le tangenti, il più prossimo all'imminente invenzione del calcolo infinitesimale.

Capitolo 13  L'avvento del nuovo calcolo.

La nascita di Newton. La sua prodigiosa primavera. La formula del binomio. Il De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, l'analisi infinita, le serie infinite ed il metodo delle flussioni. I Philosophiae naturalis principia mathematica PNPM.  G.W. Leibniz; il triangolo armonico, il calculus differentialis ed il calculus integralis. La sua logica e la sua filosofia. Primi sviluppi in serie di funzioni trascendenti. Cenni del contenuto dei Principia, e della teoria della gravitazione universale. Metodo di Newton per la soluzione approssimata delle equazioni. L'Arithmetica universalis. La rivoluzione newtoniana, la sua filosofia e la sua scienza matematica. Il concetto e la definizione di forza. Henry More, l'origine della metafisica e della filosofia dello spazio assoluto e del tempo assoluto di Newton: la teoria dello spazio. Leibniz, lo spazio ed il tempo intellegibili. I passi della scoperta della legge di gravitazione. Il concetto di materia e di punto materiale. Il concetto di movimento. La causalità. La dinamica razionale come parte della matematica pura. Le leggi del moto newtoniano e la loro critica. La fisica di Leibniz. L'algebra come computazio di Newton. La polemica Leibniz-Newton sull'invenzione del calcolo infinitesimale.

Capitolo 14  I Bernoulli, d'Alembert, Eulero, e l'analisi prende la sua forma.

I Bernoulli matematici. Jacques e Jean, le serie, l'isocrona e la brachistocrona. L'equazione differenziale di Bernoulli. Il calcolo delle variazioni: la linea di lunghezza minima ed il problema della brachistocrona. La lemniscata di Bernoulli, la spirale logaritmica. Nuovi tipi di coordinate. Cenni sugli integrali abeliani, gli integrali ellittici ed iperellittici. De ludo alee e l'Ars conjectandi. Teorema di Bernoulli o legge dei grandi numeri (e teorema di De Moivre-Laplace); legge forte dei grandi numeri o legge di Borel: esempio. La regola di De l'Hospital per le forme indeterminate, ed il primo manuale di successo sul calcolo infinitesimale. L'origine dell'analisi matematica. Il concetto di limite finito, infinito; definizione topologica di limite. Massimo e minimo limite. Definizione generale di limite. La definizione di derivata. La derivata seconda ed n-esima. Le derivate di uso corrente. Il calcolo integrale finito ed indefinito. La definizione di integrale indefinito. Proprietà dell'integrale. Integrazioni immediate. Integrazione per parti. Integrale improprio o generalizzato. La teoria filosofica del calcolo infinitesimale: la teoria di Leibniz e la teoria di Newton. Definizione della continuità di f(x) secondo Dini. Condizione precisa per l'esistenza di un limite: classe di limiti. Nelle operazioni infinitesimali non sono implicati né l'infinitesimale né l'infinito. L'applicabilità del calcolo differenziale ed integrale alla geometria ed alla meccanica razionale. La sola vera nozione di infinitesimale ed infinito improprio tra numeri, classi, divisibilità e misure. Ordini d'infinito e d'infinitesimale. Gli errori dell'approccio filosofico all'infinitesimale, e loro critica. Le serie spaziali e temporali. L'opera di Jean e Daniel Bernoulli. Il paradosso di Pietroburgo. La teoria della probabilità: teoria assiomatica; definizione basata sul concetto d frequenza relativa; definizione classica (casi favorevoli/casi equiprobabili); definizione come misura di un'opinione (teoria soggettiva). Bernoulli e De Moivre in teoria della probablità. Il teorema di De Moivre. Formule trigonometriche. Cots ed il suo teorema, calcoli infinitesimali e la periodicità delle funzioni trigonometriche. Colin MacLaurin, le sue opere. La formula di Lagrange, di Taylor e di MacLaurin.  Taylor e le sue opere. Berkeley e la sua critica del calcolo infinitesimale. Gabriel Cramer e la sua regola. Teoria dei sistemi di m equazioni lineari in n incognite, omogenei e completi. La teoria delle matrici e la teoria dei determinanti. Cenni degli spazi complessi e degli spazi vettoriali a n dimensioni. Cenni di trasformazioni lineari. La regola di Cramer  ed il teorema di Rouchè-Capelli. Le trasformazioni di Tschirnhaus per la risoluzione delle equazioni di 3° e 4° grado. Hermann e la sua geometria. Fondamenti di geometria dello spazio 3-dimensionale: equazioni di rette, piani, curve e superfici. Trasformazioni di coordinate. Rolle ed il suo teorema. Il teorema di Ceva. L'equazione differenziale di Jacopo Riccati. La teoria delle equazioni differenziali ordinarie EDO. Genesi delle equazioni differenziali. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie. L'equazione lineare del 1° ordine. Equazioni differenziali esatte. Equazioni omogenee integrate da Manfredi. Equazioni differenziali non esatte. Il metodo di Cauchy-Lipschitz e di Runge-Kutta. Il metodo di Peano-Picard e di Goursat. Il metodo degli sviluppi in serie di Taylor. La teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n, omogenee e complete; i sistemi lineari. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Esempio applicativo con equazione lineare a coefficienti costanti del 2° ordine: circuito RLC parallelo. Equazione di Eulero. L'equazione di Bessel. L'equazione di Legendre. L'equazione di Gauss. Condizioni iniziali ed al contorno; principio dell'alternativa; teoremi di unicità e di risolvibilità. La teoria delle coniche: ellisse, parabola, iperbole, cerchio. I tentativi di dimostrare il 5° postulato di Euclide: Nasir Eddin e G. Saccheri. La serie a termini uguali a segni alterni. Leonardo Eulero, il suo mondo e la sua vita. L'incarnazione dell'analisi. La relazione simbolica della matematica. La simbologia euleriana. L'Introductio in analysin infinitorum, ed il concetto di funzione. L'odierna definizione di funzione matematica e di analisi matematica. Lo sviluppo in serie di potenze di alcune funzioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche circolari ed iperboliche dirette ed inverse. Identità o formule di Eulero, forme esponenziali e relazioni circolari-iperboliche. Risultati ottenuti con le serie. D'Alembert, la sua vita. Il progetto dell'Encyclopèdie. La relazione e l'equazione simboliche della dinamica razionale: principio di d'Alembert. Le equazioni cardinali della dinamica. La 1° e 2° forma delle equazioni di Lagrange. Le equazioni della meccanica analitica. Sistema canonico o sistema hamiltoniano. Il metodo di integrazione e l'equazione di Jacobi. Aspetto ondulatorio dei fenomeni meccanici nella meccanica classica. Cenni di meccanica ondulatoria quantistica, precisiamo in ambito classico; la corrispondenza tra onde e corpuscoli. Logaritmi di numeri reali (positivi e negativi) e complessi. La teoria delle funzioni analitiche. Equazione di Cauchy-Riemann. Prolungamento dal reale al complesso. Serie multiple. Congettura di Girard. D'Alembert ed il concetto di limite, infinitesimale ed infinito. Equazione d'onda della corda vibrante di d'Alembert. Dinamica dei fili e piccole vibrazione trasversali. Equazione della corda finita fissata ai suoi estremi (Daniel Bernoulli). Equazione della linea di trasmissione elettrica ideale. Le 4 equazioni di Maxwell in forma differenziale MD ed in forma integrale MI. Equazione delle onde elettromagnetiche. I due fratelli Clairaut: Claude e la geometria solida. La teoria delle funzioni di più variabili: limiti, derivate parziali, sviluppi in serie. Studio delle superfici. Equazione di Laplace e laplaciano; equazione di Poisson: metodi di risoluzione. Metodo di rilassamento grafico e numerico. Le Institutiones di Eulero. Integrali abeliani ed integrali ellittici. Integrali euleriani; funzioni beta e gamma. L'integrale di Cebysev. Cenni di statistica avente carattere deduttivo. Buffon. La teoria dei numeri al tempo di Eulero. La teoria delle serie. Teoremi e criteri di convergenza. Serie di funzioni e serie di matrici. Le opere d'algebra del '700. Sviluppi della geometria analitica. Intorno al 5° postulato delle parallele. Lambert dimostra l'irrazionalità di π.

Capitolo 15 L'Ecole Normale e l'Ecole Polytechnique.

La matematica ed i matematici del periodo immediatamente precedente la Rivoluzione Francese. Il passaggio dall'alchimia alla chimica. Il problema del concetto matematico nella teoria della materia. Dal flogisto alla moderna teoria della combustione chimica. Lavoisier e la nascita della chimica scientifica. Laplace e la teoria della probabilità. Teorema di De Moivre-Laplace. La teoria fondamentale della meccanica celeste. Moto centrale kepleriano e moto dei pianeti perturbato. Teorema di Laplace. Il sistema decimale; il sistema dei pesi e delle misure. L'istruzione delle scuole: Carnot e Monge. La fondazione dell'Ecole Polytechnique. La geometria analitica 3-dim e la geometria descrittiva. La nascita dell'Ecole Normale. Fondamenti di geometria differenziale. La rivoluzione dei testi e dei manuali.  L. Carnot, il calcolo infinitesimale e la geometria di posizione.  S. Carnot il fisico. Il teorema di Carnot (versione trigonometrica di un vecchio teorema di Euclide nel piano e nello spazio). Il teorema di Carnot (generalizzazione del teorema di Menelao). Il grande manuale di matematica di successo americano. I contributi di Legendre e gli integrali ellittici. L'equazione del pendolo semplice. La lunghezza dell'arco d'ellisse ed in generale delle coniche. La teoria dei numeri al tempo di Legendre. Thèorie des fonction analytiques di Legandre. Il calcolo delle variazioni come nascita-inizio dell'analisi funzionale. L'equazione di Eulero-Lagrange ed altri problemi variazionali. I principi variazionali della dinamica: principio di Gauss o della minima costrizione dei vincoli; principio di Hertz o della direttissima; principio di Hamilton; principio dell'azione stazionaria o di Holder; principio dell'azione minima di Maupertuis e di Eulero. Parallelo tra ottica geometrica OG e meccanica corpuscolare MC: ottica ondulatoria OO e meccanica ondulatoria ES. Metodo della variazione dei parametri. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier: loro proprietà. La teoria ed il metodo dei minimi quadrati. Disuguaglianza di Parseval. L'integrale e la trasformata di Fourier FT. La formula di inversione. Teorema di Plancherel. Le applicazioni della serie di Fourier. Esempi applicativi: equazione della conduzione del calore in mezzi omogenei ed isotropi; la temperatura all'interno della Terra; la cantina a 4.5 metri di profondità. La teoria del campionamento dei segnali ed il relativo teorema del campionamento (nel dominio del tempo e nel dominio delle frequenze). La teoria dell'integrale e della trasformata di Laplace; la formula di inversione di Riemann-Fourier. Applicazione alla risoluzione di un circuito RLC serie. Teoria dei circuiti e delle reti elettriche. Analisi dei nodi, analisi degli anelli, analisi delle maglie fondamentali, analisi degli insiemi di taglio fondamentali: equazioni risolutive. Applicazione della trasformata di Laplace. I teoremi di rete: teorema di sostituzione, teorema di sovrapposizione, teorema di rete equivalente di Leòn Thèvenin e di Norton, teorema di reciprocità. Cenni di teoria delle distribuzioni. Teoria dell'origine del sistema solare di Laplace. Teoria dei campi (scalari, vettoriali, tensoriali). Campi fisici e campi matematici. Costruzione matematica di un campo. Costruzione e definizione di gradiente. La circolazione. Costruzione e definizione di rotore. Teorema di Stokes o del rotore. Formule di Green. Campi lamellari ed irrotazionali. Il flusso. Costruzione e definizione di divergenza. Teorema di Gauss o della divergenza. Campi solenoidali. Curvatura, curvatura totale di una superficie e theorema egregium di Gauss. Geodetiche. Campi armonici. 

Capitolo 16  L'avvento del rigore matematico.

Gauss, la sua vita. Il metodo di rappresentazione geometrico dei numeri immaginari e dei numeri complessi. Contributi al teorema fondamentale dell'algebra con dimostrazioni geometrica ed algebriche. La Disquisitiones arithmeticae e l'algebra delle congruenze (classi di equivalenza). Il theorema aureum. Numeri interi gaussiani. Teoria fondamentale dell'aritmetica di Gauss. La distribuzione dei numeri primi nella serie degli interi. Congettura o postulato di Bertrand e dimostrazione di Cebysev. Il teorema si Dirichlet. Oggetto generale di teoria dei numeri. Poligoni regolari con n dispari. L'astronomia al tempo di Gauss. L'invenzione della teoria delle funzioni analitiche. L'invenzione delle funzioni ellittiche.  N.H. Abel, la sua vita. Potenza reale del binomio. Leonardo Eulero, Paolo Ruffini, ed infine N. Abel, e la dimostrazione dell'impossibilità della soluzione algebrica dell'equazione di 5° grado. Abel, Jacobi: la doppia periodicità delle funzioni ellittiche, le funzioni abeliane, e le funzioni teta. La teoria dei gruppi abeliani. Criterio e teorema di convergenza di Abel. Lo sviluppo dei determinanti ed il contributo di Cauchy. Cauchy, la sua vita. Jacobi ed i determinanti funzionali jacobiani. Il Journal, gli Annales, il Journal di Crelle ed il Journal di Liouville. La Mathematical Society di Londra ed i Proceedings; l'American Mathematical Society e la Mathematical Reviews. Lo sviluppo della teoria delle funzioni analitiche: generazione delle funzioni analitiche; serie di potenze; differenza tra il piano complesso ed il piano proiettivo reale; cerchio di convergenza; sfera di Neumann; integrale di funzione analitica; teorema fondamentale di Cauchy; 1° e 2° forma integrale di Cauchy; esistenza, unicità ed armonicità delle funzioni analitiche; sviluppo in serie di Taylor ed in serie di Laurent; singolarità isolate al finito e caratteristiche; olomorfismo e singolarità all'infinito e caratteristiche; il teorema di Casorati; teorema di Picard; teorema di Liouville ed il conseguente teorema fondamentale dell'algebra; residui; i due criteri o teoremi di identità; indicatore logaritmico e relativo integrale; calcolo del numero delle radici di un'equazione algebrica di grado n; massimo e minimo modulo; rappresentazione conforme. Il metodo di Weierstrass; funzioni polidrome; serie di Puiseux; funzioni algebriche e superfici di Riemann. Funzione gamma e funzione beta. Maggior rigore nei procedimenti matematici: Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, Rèsumè des lecons sur le calcul infinitèsimal, Lecons sur le calcul diffèrentiel. Le definizioni di Cauchy di limite, derivata ed integrale. Teorema di Rolle e teorema del valor medio di Cauchy. Bolzano precursore dell'aritmetizzazione e della teoria dell'infinito. La definizione in matematica e gli indefinibili. La definizione di numero cardinale. Classi finite e classi infinite. La serie dei numeri interi o induttivi: principio di induzione. Tutto (aggregato ed unità) e parte secondo Russell. L'analisi di un tutto come falsificazione. Implicazione formale. L'addizione logica. Aggregati ed unità infiniti: loro costituzione e grandezze di divisibilità. La necessità dei tutti-insiemi infiniti in geometria ed in dinamica. Cenni ai 3 problemi dell'infinità, dell'infinitesimale e della continuità. L'infinità. L'assioma di finitezza. La continuità. La serie spaziale e la serie temporale come continui cantoriani. I 4 paradossi di Zenone di Elea. Regressi infiniti. La dicotomia; Achille e la tartaruga; la freccia. La costante ed il concetto di variabile x in matematica. La misura. Il continuo infinitamente divisibile e gli elementi. La 2° antinomia di Kant e la 1° antinomia. Il paradosso di Zenone AT ed il paradosso di Cantor TS. Cardinali ed ordinali trasfiniti. La 1° classe degli ordinali trasfiniti. Teorema di Bolzano. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Cenni sulle proprietà topologiche degli insiemi infiniti. Criteri di convergenza di serie: criterio di Cauchy, criterio del rapporto (o di d'Alembert), criterio della radice, criterio del confronto, criterio di convergenza assoluta. Criterio di convergenza interna. Teorema di Cauchy-Hadamard. Criterio di convergenza uniforme. Disuguaglianza di Cauchy. Il più bel teorema di Fermat con dimostrazione generale di Cauchy. Disquisitiones circa superficies curvas e la geometria differenziale di Gauss. La distribuzione normale o gaussiana. Quètelet e la distribuzione normale in statistica. Teorema del limite centrale. Metodo Gauss-Seidel. I contributi di Gauss alla fisica ed all'elettromagnetismo. I contributi di Cauchy alla meccanica dei corpi elastici ed alla meccanica celeste. Poisson e la meccanica celeste, l'elettromagnetismo, la teoria dell'elasticità, la teoria e l'integrale del potenziale e la teoria della probabilità. La distribuzione di Poisson. Coefficiente di Poisson ed il suo ruolo in teoria dei materiali elastici. Derivata logaritmica o elasticità. Derivata debole o di Gateaux, Derivata forte o di Frèchet. La teoria del differenziale o applicazione lineare tangente. La teoria dell'integrazione e l'integrale di Riemann. Teorema di Lebesgue-Vitali. Integrali multipli, curvilinei, di superficie ed impropri. L'integrale di Stieltjs-Riemann. Teoria della misura: concetto di misura nell'antichità, poi misura secondo Peano-Jordan, misura secondo Lebesgue. Spazio misurabile e σ-algebra. La fondazione assiomatica della teoria dell'integrazione. L'integrale secondo Lebesgue. Spazi L1, L2, Lp (indici come apici). Cenni sugli spazi di Banach.

Capitolo 17  La continuità, la matematica dell'infinito e la nuova geometria.

Una nuova fioritura della geometria. I due teoremi duali sull'esagono inscritto-circoscritto ad una conica, di Pascal-Brianchon, Poncelet e la fondazione della geometria proiettiva. Il teorema della circonferenza dei 9 punti. Steiner e la geometria sintetica. Il teorema di Steiner. La geometria d'inversione come trasformazione conforme. Il teorema di Liouville sulle trasformazioni d'inversione, di similitudine e di congruenza. Kelvin e la trasformazione d'inversione. Luigi Cremona e le geometrie cremoniane. Omografia, omologia, omotetia, similitudine, congruenza od uguaglianza, traslazione. La teoria dell'omologia come parte della topologia algebrica. Omotopia. Equivalenza. Spazi topologici. Omografie ed il gruppo della geometria proiettiva. La definizione di vettore e l'algebra vettoriale. L'analisi vettoriale: gradiente, limite, derivata, sviluppi in serie, integrale. Gli spazi vettoriali. Esempi. La base di rappresentazione, forma pitagorica del prodotto scalare e norma. Teoria generale dei sistemi di n equazioni algebriche lineari in q incognite completo ed omogeneo in formulazione vettoriale. Regola di Cramer e teorema di Rouchè. Spazi topologici normati e matrici. Spazi di Banach, di pre-Hilbert, di Hilbert. Definizione e teoria dei tensori. Tensori doppi, tripli, n-upli. Levi Civita e Ricci Curbastro. Tensore di Ricci. La metrica dello spazio. Sistemi covarianti e controvarianti. Algebra ed analisi tensoriale: gradiente, simboli di Christoffel, derivata tensoriale, divergenze, rotori, operatore di Laplace. Omografia degli sforzi: tensore degli sforzi ed equazioni di equilibrio; quadrica indicatrice degli sforzi. Calcolo tensoriale superficiale; metrica, derivazione. Il tensore di Riemann. Omografia, dilatazione, omografia assiale, rotore. Principio di permanenza delle relazioni matematiche. Punti impropri, immaginari e ciclici. Plucker, primo geometra analitico moderno. Coordinate cartesiane non omogenee, omogenee e pluckeriane. La spiegazione di Plucker del paradosso di Cramer-Eulero. Le formule di Plucker. Lamè, Bobillier, Mobius. Il principio di dualità in versione analitica. La fondazione di Analytical Society di Cambridge e del Cambridge Mathematical Journal. Green, Kelvin, Ostrogradskij.  A. Cayley e la geometria pluridimensionale. Il teorema di Cayley. La teoria dei gruppi: definizione di gruppo, gruppi finiti ed infiniti, sottogruppi, gruppo quoziente, rappresentazione omomorfa, monomorfismo,  epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo. La teoria generale della geometria: insieme S e gruppo fondamentale G. Gruppo delle proiettività, gruppo delle affinità, gruppo delle similitudini. La geometria proiettiva. Involuzione, omografia, reciprocità, polarità, sistemi nulli, equivalenze, similitudini, inversioni, movimenti. Stuadt e la geometria proiettiva sintetica. Elementi di geometria proiettiva: coniche, fascio di coniche, superfici di ordine n, quadriche, intersezioni col piano, proiezioni di coniche. Retta proiettiva reale e complessa. Birapporto. Teoremi del quadrangolo e del quadrilatero. Proiettività tra forme di 1° specie. Prospettività. Teorema di Pappo-Pascal e teorema duale. Involuzione. Polo e polare rispetto a coniche ed a curve algebriche. Triangolo autopolare. Coniche a centro. Polo ed antipolare. Coniche associate. Fascio di coniche. Nascita della geometria non euclidea. Lobacevskij e la sua geometria. Bolyai. Riemann e le geometrie non euclidee. Sistemi di riferimento inerziali. La teoria della relatività ristretta RR. Le trasformazioni di Lorentz. Equazioni di Maxwell in CGS. Esperimento di Michelson-Morley. La legge d'inerzia, la legge fondamentale, il teorema dell'energia cinetica. Equivalenza massa-energia. La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi: pendolo e paradosso dei gemelli.  C. Oersted ed il famoso esperimento corrente-ago magnetico: le radici della relatività ristretta. La vita di Einstein. Trasformazioni di vettor E e vettor B ed onde elettromagnetiche. Le trasformazioni di vettor quantità di moto Q e vettor forza F. Spazio di Minkowscki. La teoria della relatività generale RG. La legge d'inerzia. Le leggi generali del moto. Metrica riemanniana. Esempio di cronotopo della relatività generale. Tensore fondamentale della metrica, tensore gravitazionale e tensore energetico. Equazione tensoriale (e le 10 equazioni scalari) della relatività generale RG. Alcune soluzioni e misurazioni sperimentali. Problema cosmologico: soluzione statica e soluzione dinamica o Big-bang. Un cenno alla teoria geometrica dei campi unificati. Dirichlet ed i suoi contributi. Beltrami ed il primo modello di geometrie non euclidee a curvatura costante. Klein, il programma di Erlanger e la sua teoria dei gruppi. I gruppi definenti geometrie: gruppo delle similitudini, delle affinità, delle proiettività. Introduzione all'aritmetizzazione della matematica. Fourier e Thèorie analytique de la chaleur. Il problema del trasporto del calore: legge di Fourier; legge della diffusione di Fick. La serie di Fourier. Teoria delle serie e teoria dei numeri. Numeri razionali, algebrici, irrazionali di Liouville, irrazionali trascendenti, reali. Il teorema di Hermite. La sua soluzione dell'equazione di 5° grado; i poligoni e gli operatori di Hermite. Contributi di Liouville. La dimostrazione di Lindemann della trascendenza di π. Tentativo di Ohm di costruire un sistema totalmente coerente della matematica. I pionieri dell'aritmetizzazione. Il teorema di Weierstrass. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Bolzano, Hankel, Hamilton. La concezione di Weierstrass sull'aritmetizzazione. La teoria di Dedekind dei numeri reali. Le definizioni di continuità: continuità, continuità uniforme, semicontinuità, continuità assoluta, equicontinuità. Postulato di continuità della retta. La definizione di limite di Heine. Weierstrass, la sua vita. Gudermann. Derivazione ed integrazione per serie. Stokes. Dedekind, la sua vita. Teoria dei rapporti e delle funzioni. Grandezze di divisibilità. La teoria di Dedekind. La generalizzazione del principio d'induzione di Dedekind. La teoria degli ordinali e dei cardinali, e la loro critica logicista. Cantor, la sua vita. La storia, il concetto e la teoria dell'infinito. La polemica Cantor-Kronecker. La nascita della nuova teoria dell'infinito e degli insiemi trasfiniti. La teoria degli ordinali e dei cardinali trasfiniti. L'ipotesi del continuo di Cantor. L'insieme di Cantor. Il paradosso di Russell. La teoria intuitiva e la teoria assiomatica degli insiemi. La densità dei razionali e la continuità degli irrazionali trascendenti. Densità, compattezze, continuità, potenza e dimensionalità. Segmenti di razionali e numeri reali. Limiti e classi derivate. La teoria aritmetica degli irrazionali. L'assioma di Dedekind e la sua critica. Esistenza del limite irrazionale? (secondo Dedekind, Weierstrass, Cantor). Concetto e teoria della continuità, Serie compatte, coesive, complete, perfette. Un assioma di continuità ancora più irreprensibile di quello di Dedekind? Definizione puramente ordinale di continuità. I cardinali αo