Turismo nella matematica

Di Giuseppe Ferrero

Il libro si propone di guidare il lettore alla scoperta o alla rivisitazione dei principali argomenti della matematica moderna non specialistica, che sono adeguati ad una buona cultura di base.
Con un linguaggio semplice ma attento alla terminologia tecnica, e con un'esposizione ricca di esempi pratici sviluppati nei minimi dettagli e supportata da illustrazioni e grafici, i diversi temi sono presentati dalla loro nascita ai successivi sviluppi e perfezionamenti, sia teorici che applicativi.
Sono inseriti spunti di riflessione sulla natura dei concetti matematici, ed i casi umani di alcuni protagonisti della disciplina.

• Lingua: Italiano
• Editore: Giuseppe Ferrero
• Data di uscita: 14 gen 2014
• ISBN: 9788868856120

Anteprima del libro

analitico

Io non ho mai capito niente di matematica: questa frase si sente spesso proclamare anche da personaggi di un certo rilievo, a volte con rincrescimento, più spesso quasi con orgoglio, come se la matematica fosse il discrimine che separa il mondo della cultura letteraria, artistica, filosofica, dall’arido meccanicismo dei numeri e delle formule.

Intanto tutti, volenti o nolenti, abbiamo a che fare con la matematica, magari con quella spicciola che fa capolino nella vita di tutti i giorni. Ad esempio:

Sono le 13h45' e il treno parte alle 15h16', quindi mi rimangono solo poco più di un’ora e 30 minuti per preparare la valigia e raggiungere la stazione.

Intendo comprare, tra un anno e mezzo, un’auto che costa 13.500 €; se posso disporre ora solo di 7.200 €, devo mettere in conto un accantonamento mensile di almeno 450 € (tenendo conto di eventuali aumenti di prezzo o imprevisti vari).

Nell’appartamento ancora in costruzione che intendo comprare mi è essenziale la planimetria in scala 1:100 per studiare la disposizione degli attuali mobili che si dovranno sistemare.

Per redigere la dichiarazione annuale dei redditi, e non volendo avvalermi della consulenza di un commercialista, devo svolgere una lunga serie di operazioni aritmetiche; ad esempio, la detrazione per i figli a carico si calcola come prodotto della detrazione teorica, che dipende dal numero di figli, dalla loro età, dalla frazione di anno e di carico, e del quoziente, funzione ancora del numero di figli e del reddito netto.

Bella consolazione! si può obiettare; in questi casi sono richieste unicamente le quattro operazioni, con un minimo di ragionamento; ben altro significa conoscere la matematica. Verissimo, ma possiamo lo stesso consolarci, perché certamente non esiste nessuno al mondo, di cui si possa affermare che conosce la matematica, nel senso di possedere, sia teoricamente che operativamente, tutto lo scibile di questa scienza.

La matematica attuale è un edificio immenso, sterminato, con dei confini indefinibili, che continuamente si spostano, un albero dagli innumerevoli rami che si suddividono ognuno in più sottorami, in una successione praticamente senza fine. Forse non è nemmeno possibile fare un elenco completo di tutte le sue specializzazioni. Una di queste, tra le tante, è quella che si potrebbe definire metamatematica, cioè la matematica che studia se stessa, la propria struttura e i propri fondamenti, anch’essa suddivisa in numerose branche (niente di strano: anche una grammatica italiana è un libro scritto in italiano che espone le regole della lingua italiana).

Se prendiamo in mano una storia della matematica, notiamo quasi sempre la preoccupazione dell’autore di presentare da una parte un quadro essenziale, non potendo essere esaustivo, dell’attività matematica e dei suoi sviluppi nel corso dei secoli, e dall’altra di delinearne, per quanto possibile la sfera d’azione. Anche quest’ultimo aspetto infatti deve essere tenuto presente: dove finisce la matematica vera e propria, e dove cominciano la fisica, la tecnica, l’informatica e tante altre discipline che della matematica si alimentano continuamente?

La matematica infatti non vive di astratte elucubrazioni fine a se stesse, ma deve al contrario soddisfare alle continue richieste e sollecitazioni che le arrivano dalle molteplici attività umane. Così è stato anche nei secoli passati; possiamo affermare che, per circa il 90%, i progressi della matematica sono arrivati in risposta ai problemi posti soprattutto dal mondo scientifico, ma anche alle necessità della vita pratica. Per fare un solo esempio: lo studio della meccanica celeste, una volta abbandonate le sfere tolemaiche con la scoperta del reale assetto dei corpi celesti nello spazio, è stata la causa della fondazione dell’analisi matematica da parte di Isaac Newton e Gottfried Leibniz, praticamente in contemporanea. Questa nuova branca si è rivelata essenziale anche in numerose altre aree della fisica, quali la fluidodinamica, l’elettromagnetismo, la scienza delle costruzioni, fino ad interessare anche campi di studio apparentemente più indipendenti, quali l’economia e la medicina.

Il matematico non è una persona che si mette a tavolino per comporre teoremi secondo come lo guida la sua fantasia; il suo compito primario è quello di risolvere problemi pratici, di trovare le soluzioni ai quesiti che gli vengono sottoposti, di inventare procedimenti di calcolo che semplifichino certe operazioni, procedimenti che si debbono adattare agli strumenti a disposizione. Si pensi ad esempio allo sviluppo della matematica conseguente alla comparsa degli elaboratori elettronici.

La matematica non è tuttavia solo l’ancella delle scienze, a volte si concede degli spazi riservati ad argomenti apparentemente fine a se stessi; pensiamo all’Ultimo Teorema di Fermat, tanto semplice nella sua formulazione quanto inattaccabile, fino a tempi molto recenti, a tutti i tentativi di dimostrazione (completa ed esauriente), e sul quale si sono cimentati grandissimi matematici come Eulero e Gauss.

La dimostrazione di questo teorema, ottenuta da Andrew Wiles nel 1995, cioè quasi quattro secoli dopo la sua formulazione, ha richiesto anni di lavoro e occupa qualcosa come un centinaio di pagine. Mistero risolto? non proprio, visto che Pierre de Fermat non disponeva certo dei moderni strumenti teorici apparentemente necessari, ma ha comunque scritto chiaramente di essere arrivato ad una dimostrazione, mai rinvenuta, un po’ più lunga di quanto si possa annotare sul margine di una pagina stampata (e, viste le sue doti matematiche, non lo si può sospettare di bluff).

Un’altra esigenza spinge i matematici a navigare in un mondo astratto, apparentemente privo di collegamenti con la realtà , e cioè la preoccupazione di verificare la congruità delle scoperte recenti con l’edificio teorico preesistente, la necessità di sistematizzare - cioè non solo giustapporre - il nuovo dentro il vecchio come una tessera di un puzzle che deve incastrarsi perfettamente nella disposizione già esistente, secondo il principio irrinunciabile per cui ogni ampliamento non può mai inficiare o comunque mettere in discussione quanto già costruito e verificato.

Dalla scoperta dell’analisi alla fine del ’600 la matematica ha conosciuto nei successivi tre secoli uno sviluppo enormemente maggiore di quanto elaborato in parecchi millenni fino a quel punto.

Quali sono le radici su cui poggia questo immenso albero? Come ha detto il matematico Kronecker: Dio ha creato i numeri naturali (0?, 1, 2 , 3...), tutto il resto è opera dell’uomo. Possiamo aggiungere Dio ha creato i punti e lo spazio che li contiene, tutto il resto è opera dell’uomo. Le radici sono queste (per quanto riguarda lo zero, è opportuna qualche ulteriore riserva), possiamo dire connaturate alla mente umana e al suo modo di rappresentarsi la realtà; tutto il resto è l’albero, o l’edificio, che è opera dell’uomo.

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Nel normale percorso scolastico, la matematica incontra di solito lo stesso destino della filosofia, e cioè quello di essere vista come un mondo a parte e sostanzialmente popolato di personaggi ed argomenti strani ed eccentrici.

Mentre la letteratura, la storia, la geografia, ed anche le scienze naturali come la zoologia o la botanica, la biologia, continuano ad essere abbastanza presenti nella vita di tutti i giorni, almeno relativamente a certi contenuti, per i continui riferimenti che vengono fatti a queste discipline soprattutto da parte dei media (un nuovo scrittore che si affaccia sulla scena, la vita romanzata di un personaggio dell’antichità, i problemi dell’ambiente, la scoperta di un nuovo vaccino, i rivolgimenti politici di paesi lontani, e così via), la matematica e la filosofia difficilmente diventano oggetto di notizie o di dibattiti pubblici.

A volte un nome capitato per caso fa risvegliare dei ricordi sepolti nella memoria: "L’iperuranio? ah sì, il mondo inventato da Platone per sistemare le Idee. L’essere è, il non-essere non è: più chiaro di così! Homo homini lupus. La ragion pura e la ragion pratica. Cogito, ergo sum (in quanti diversi modi, in genere a sproposito, questa frase è stata declinata!). Schopenhauer? quello che era sempre triste". E così continuando. Eppure la filosofia è lo studio della nostra vita, è il continuo porsi dei problemi e cercarne la soluzione.

La filosofia, a prescindere dai fondatori dei grandi sistemi, come Aristotele, Kant, Hegel, è la storia non di persone che, non sapendo cosa fare di meglio, si mettevano ad arzigogolare, ad inventare concetti strampalati, teorie insulse, ma di uomini in carne ed ossa che hanno vissuto a volte situazioni drammatiche, che credevano profondamente nelle loro idee, che hanno in certi casi anche affrontato la morte per difenderle.

La matematica serve a volte per dare un tocco chic ai discorsi dei politici: "Bisogna trovare la quadra, cioè, letteralmente, occorre risolvere il classico problema della quadratura del cerchio, per dire che bisogna trovare una soluzione, una via d’uscita; la ricerca di un comune denominatore per significare una base di partenza che sia accettata da tutti; la disoccupazione è in crescita esponenziale per dire che c’è un aumento continuo e non controllato; è evidente l’ equazione meno tasse, più sviluppo" (dal punto di vista matematico sarebbe più corretto dire uguaglianza) per intendere la corrispondenza, il legame tra questi fattori; altri esempi si potrebbero citare. Al di là di questo anche la matematica è di solito vista come un insieme di regole e termini strani (la regola di Ruffini, le formule di prostaferesi, il segmento circolare, i problemi del tre composto) che si sono dovuti imparare a suo tempo, ma sono poi stati riposti in fondo alla memoria come i nomi dei sette nani.

Quando si vuole dare un’immagine emblematica di questa disciplina come mondo surreale ed estraneo, si presenta l’immagine di una lavagna piena di simboli e formule incomprensibili, e davanti ad essa un tizio dall’aspetto dimesso con una mano sul mento ed un grande punto interrogativo sopra la testa. Niente di più inesatto: proprio quando è stato trovato un linguaggio simbolico efficiente ed accettato da tutti, la matematica ha letteralmente preso il volo.

I matematici non sono esseri che vivono in un loro mondo intellettuale separato, sostanzialmente lontani dai problemi di tutti i giorni, immersi in strane fantasticherie; essi sono stati persone come tutte le altre, costrette ad affrontare i problemi della vita, spesso a lottare per sostenere le loro teorie, come vedremo anche nel corso dell’esposizione. Abbiamo avuto un Galois ventunenne, che la sera prima di affrontare un duello in cui avrebbe trovato la morte, compose di getto quella che sarebbe stata considerata un caposaldo della matematica moderna, la teoria dei gruppi. Egli aveva mandato il fascicolo dei suoi lavori all’illustre accademico Cauchy, che lo aveva smarrito senza preoccuparsi di dargli un’occhiata; un’altra copia, affidata a Fourier, che morì poco dopo, non si trovò più. Con il terzo tentativo, che abbiamo detto, dovettero passare ben 14 anni prima che l’importanza della sua opera venisse alla luce.

Che dire di Sophie Germain, uno dei non numerosi esempi di matematico al femminile, che, volendo sottoporre al giudizio del grande Gauss le sue scoperte sul Teorema di Fermat, dovette fingersi maschio nella corrispondenza che intercorse fra i due, perché altrimenti avrebbe incontrato un sicuro rifiuto?

Abbiamo nominato due matematici, Cauchy e Gauss, sicuramente di altissimo livello scientifico, ma umanamente non esenti da una certa supponenza e altezzosità nei confronti delle giovani leve, in fondo gelosi del loro sapere e della loro posizione e poco inclini a condividerne i vantaggi con altri.

Non ci appare molto simpatico un Gauss che, venuto a conoscenza delle ricerche del giovane Janos Bolyai sulla geometria non euclidea, scrisse al padre di questi, suo vecchio amico: «Non posso lodare tuo figlio per il suo lavoro, perché così facendo loderei me stesso», volendo con questo significare che egli si era già occupato del problema precedentemente (senza peraltro risolverlo).

Abbiamo anche esempi di grande umanità, come quello di Eulero che componeva teoremi mentre accudiva la sua numerosa prole, oppure quello del danese Niels Abel, morto di tubercolosi e di stenti a 27 anni, che sarebbe diventato famoso per le sue ricerche sulle funzioni ellittiche, ma che fu del tutto ignorato dai grandi papaveri, tra i quali il già nominato Cauchy, ai quali era stato presentato in occasione di un suo viaggio a Parigi. La matematica è fatta anch’essa di individui che hanno lottato e sofferto, che hanno ottenuto successi ma anche sbagliato, e imparando a conoscerla, è difficile discriminarla come un mondo dominato solo dalla fredda ragione.

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Le considerazioni che abbiamo fatto sulla complessa struttura della matematica ci fanno capire come non sia semplice, non diciamo conoscere, ma almeno saperci orientare in un tale labirinto che pure, almeno per molte persone, è affascinante, anche se misterioso. Per chi ama le sfide logiche, si dedica a risolvere i sudoku che trova sul quotidiano, o i problemi proposti dalla Settimana Enigmistica, ma non ha il tempo, la voglia, i prerequisiti per affrontare lo studio di testi specialistici, ed i cui ricordi scolastici si vanno affievolendo, può essere utile avere una guida che gli fornisca gli elementi essenziali per farsi un’idea, sia pure solo epidermica, dei più importanti campi dell’attività matematica.

La situazione è simile a quella del turista che vuole conoscere paesi stranieri. Per una conoscenza approfondita non basterebbe una vita: prima di tutto la lingua, che spesso si esprime attraverso un alfabeto suo particolare, poi il territorio, le città principali, i beni artistici e culturali, la letteratura con i suoi esponenti più significativi, le sue istituzioni, gli usi e i costumi, il folklore e via elencando. Ma il turista non pretende di diventare uno specialista; si accontenta di avere una visione generale, di osservare gli aspetti più immediati e più caratteristici, di cogliere alcune immagini esotiche, eventualmente andandole a cercare. Parliamo del turista che non viaggia solo interessandosi agli alberghi e ai ristoranti, e che non si limita a spedire cartoline ad amici e parenti, per poter dire «ecco, io sono stato là».

Questo libro si prefigge proprio lo scopo di essere una guida per visitare questi paesaggi esotici, sorti e popolatisi, nel corso dei secoli, di oggetti dai nomi a volte apparentemente familiari e rassicuranti (integrale, analisi), a volte misteriosi (algoritmo, simplesso), e dare una risposta, semplice ma chiara, anche se, per forza di cose, non esauriente, alle domande che spontaneamente emergono: Di che cosa si tratta? A che cosa serve? Perché è stato introdotto tale o talaltro concetto, o costrutto, o procedimento? e così via. Le risposte saranno il più possibile in relazione con la nostra esperienza quotidiana, conterranno riferimenti a ciò che ci è più familiare, e non è escluso che siano attaccabili dal punto di vista del rigore formale; purtroppo il rigore e la chiarezza spesso seguono strade diverse, e poiché vogliamo privilegiare la seconda, il primo dovrà in qualche modo essere un po’ sacrificato.

Il lettore potrà a volte ritenersi soddisfatto dell’esposizione, altre volte pensare che l’argomento richieda ulteriori approfondimenti. In entrambi i casi lo scopo di questo libro sarà stato raggiunto.

A questo punto il viaggio può cominciare.

INDICE

L’apparizione sulla scena dei numeri negativi (e per contrapposizione quella dei positivi, con l’aggiunta di