Prospettiva curvilinea: Esplorare la percezione della profondità nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Cos'è la prospettiva curvilinea

La prospettiva curvilinea, detta anche prospettiva a cinque punti, è una proiezione grafica utilizzata per disegnare oggetti 3D su superfici 2D. Fu formalmente codificato nel 1968 dagli artisti e storici dell'arte Andr? Barre e Albert Flocon nel libro La Perspective curviligne, tradotto in inglese nel 1987 con il titolo Curvilinear Perspective: From Visual Space to the Constructed Image e pubblicato dalla University of California Press.

Come si trarranno beneficio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Prospettiva curvilinea

Capitolo 2: Sistema di coordinate sferiche

Capitolo 3: Tetraedro

Capitolo 4: N-sfera

Capitolo 5: Proiezione stereografica

Capitolo 6: Ellissoide

Capitolo 7: Geometria conforme

Capitolo 8: Proiezione 3D

Capitolo 9: Integrale di superficie

Capitolo 10: Elemento volume

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sulla prospettiva curvilinea.

(III) Esempi reali dell'uso della prospettiva curvilinea in molti campi.

Chi è questo libro è per

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di prospettiva curvilinea.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 5 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Prospettiva curvilinea

La prospettiva curvilinea, anch'essa un punto di vista a cinque punti, è una proiezione grafica utilizzata per rappresentare cose tridimensionali su superfici bidimensionali.

È stato formalmente codificato nel 1968 dagli artisti e storici dell'arte André Barre e Albert Flocon nel libro La Perspective curviligne, Per analogia con una lente fisheye, la prospettiva curvilinea è informalmente indicata come punto di vista fisheye. Nell'animazione computerizzata e nella grafica animata, è anche conosciuto come un pianeta in miniatura.

Il Ritratto Arnolfini (1434) del primitivo fiammingo Jan van Eyck contiene un primo esempio di prospettiva curvilinea approssimativa a cinque punti. L'Autoritratto in uno specchio convesso (1524 circa) del pittore manierista Parmigianino e Una veduta di Delft (1652) del pittore olandese del Secolo d'oro Carel Fabritius sono esempi successivi.

Nel 1959, Flocon ottenne una copia di Grafiek en tekeningen di M. C. Escher, il cui uso della prospettiva curva e curva ispirò notevolmente la teoria che Flocon e Barre stavano creando. Iniziarono una lunga relazione, durante la quale Escher si riferì a Flocon come a uno spirito affine.

L'approccio combina sia linee prospettiche curve che una serie di linee rette convergenti per imitare più propriamente l'immagine sulla retina dell'occhio, che è essa stessa sferica, rispetto alla classica prospettiva lineare, che utilizza solo linee rette ma è estremamente distorta ai bordi.

Vengono utilizzati quattro, cinque o più punti di fuga:

Nella prospettiva a cinque punti (fisheye), quattro punti di fuga sono disposti attorno alla circonferenza di un cerchio ed etichettati Nord, Ovest, Sud ed Est.

La prospettiva a quattro punti, o a punti infiniti, è quella che (probabilmente) assomiglia di più alla prospettiva dell'occhio umano, pur essendo efficace per rappresentare spazi impossibili. Proprio come la prospettiva a cinque punti è l'equivalente curvilineo della prospettiva a un punto, così la prospettiva a quattro punti è l'equivalente della prospettiva a due punti.

Come la prospettiva a due punti, questo approccio può utilizzare una linea verticale come linea dell'orizzonte per fornire contemporaneamente sia una vista a volo d'uccello che una vista a volo d'uccello. Impiega quattro o più punti equidistanti lungo una linea dell'orizzonte, tutte le linee verticali sono costruite perpendicolarmente alla linea dell'orizzonte e gli ortogonali sono creati utilizzando una bussola impostata su una linea che passa per ciascuno dei quattro punti di fuga con un angolo di 90 gradi.

Le distanze a e c tra lo spettatore e il muro sono maggiori di b, quindi applicando il principio che un oggetto si restringe all'aumentare della sua distanza dall'osservatore, il muro si restringe e appare deformato ai suoi bordi.

Se un punto ha le coordinate cartesiane in tre dimensioni (x,y,z):

{\displaystyle P_{\mathrm {3D} }=(x,y,z)}

Denotando la distanza dal punto all'origine con d = √x2

+ y2 + z2

, Di conseguenza, la transizione del punto verso un sistema di riferimento curvilineo con raggio R è

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)}

(se d = 0 e il punto è all'origine, la sua proiezione non è definita)

Ciò si ottiene proiettando prima il punto 3D su una sfera di raggio R centrata nell'origine, in modo da ottenere un'immagine del punto con le coordinate.

{\displaystyle P_{\mathrm {sphere} }=(x,y,z)*\left({\frac {R}{d}}\right)}

Quindi, viene utilizzata una proiezione parallela parallela all'asse z per proiettare il punto sulla sfera sulla carta a z = R, ottenendo così il risultato.

{\displaystyle P_{\mathrm {image} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}},R\right)}

Poiché è irrilevante che la carta sia appoggiata sul piano z = R, trascuriamo la coordinata z del punto dell'immagine, ottenendo

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)=R*\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

Poiché la modifica R equivale solo a una scala, in genere è caratterizzata come unità, semplificando ulteriormente la formula in:

{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {x}{d}},{\frac {y}{d}}\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

Una linea che non passa per l'origine viene proiettata sulla sfera come un grande cerchio, che viene poi proiettata sul piano come un'ellisse. È una proprietà di un'ellisse che il suo asse lungo sia un diametro del cerchio di delimitazione.

Arrivo dell'imperatore Carlo IV alla Basilica di Saint Denis, di Jean Fouquet

Parmigianino, ritratto di se stesso in uno specchio convesso

Particolare del XIV secolo di uno specchio convesso nel Ritratto Arnolfini di Jan van Eyck.

{Fine Capitolo 1}

Capitolo 2: Sistema di coordinate sferiche

Per specificare la posizione di un punto nello spazio tridimensionale utilizzando un sistema di coordinate sferiche, vengono utilizzati tre numeri: la distanza radiale dall'origine, l'angolo polare misurato dallo zenit e l'angolo azimutale della proiezione ortogonale sul piano che passa per l'origine ed è ortogonale allo zenit. È come il sistema di coordinate polari, ma in tre dimensioni.

Il termine distanza radiale si riferisce alla distanza lungo l'asse radiale di un cerchio. La latitudine comune, l'angolo zenitale, l'angolo normale e l'angolo di inclinazione sono tutti nomi per l'angolo polare.

Quando il raggio viene mantenuto costante, le due coordinate angolari formano un sistema di coordinate sferiche.

Risorse e campi diversi possono utilizzare simboli diversi e disporre le coordinate in una sequenza diversa.

Questo articolo userà la convenzione ISO che si incontra frequentemente in fisica: (r,\theta ,\varphi ) fornisce la distanza radiale, l'angolo polare e l'azimut della bussola.

Al contrario, diversi testi matematici, {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} o (r,\theta ,\varphi ) danno la distanza radiale, l'angolo azimutale, l'angolo polare, invertendo i significati di θ e φ.

Ci sono anche più idiomi in uso, ad esempio, la distanza r è dall'asse z, quindi è essenziale ricontrollare l'interpretazione dei simboli.

Le posizioni sono espresse utilizzando il linguaggio dei sistemi di coordinate geografiche, la latitudine è la metrica utilizzata per localizzare gli oggetti, la longitudine, la statura (altitudine).

Esistono vari sistemi di coordinate celesti, ognuno dei quali ha il proprio piano fondamentale e un insieme di termini per le varie misure angolari e lineari.

I sistemi di coordinate sferiche usati in matematica normalmente usano i radianti piuttosto che i gradi e misurano l'angolo azimutale in senso antiorario dall' asse x all'  asse y piuttosto che in senso orario da nord (0°) a est (+90°) come il sistema di coordinate orizzontali.

Invece di usare l'angolo polare, si potrebbe usare l'angolo di elevazione, che è l'angolo dal piano orizzontale all'asse Z positivo, 0 gradi di elevazione sopra l'orizzonte; Un angolo di elevazione negativo è chiamato angolo di depressione.

Il sistema di coordinate sferiche è una generalizzazione del sistema di coordinate polari per l'uso in tre dimensioni. Può essere generalizzato a dimensioni superiori, a quel punto è noto come sistema di coordinate ipersferiche.

Un sistema di coordinate sferiche viene definito selezionando un punto di origine e due direzioni di riferimento (zenit e azimut) perpendicolari tra loro. Da queste selezioni viene stabilito un piano di riferimento, che include l'origine e la perpendicolare allo zenit. Quindi, possiamo definire le coordinate sferiche di un punto P come segue:

La distanza radiale, spesso nota come raggio, è la distanza euclidea tra due punti, diciamo O e P.

Facendo riferimento al piano di riferimento, l'azimut (o angolo azimutale) è l'angolo con segno formato dalla proiezione ortogonale del segmento di linea OP.

L'angolo polare, o inclinazione, è l'angolo formato tra la direzione zenitale e la linea OP.

La direzione dell'azimut viene stabilita scegliendo una direzione che compie una svolta positiva rispetto allo zenit. La definizione di un sistema di coordinate include questa decisione apparentemente arbitraria.

Per calcolare l'angolo di elevazione, dividere l'angolo formato tra il segmento di linea OP e il piano di riferimento per 2, quando lo zenit giace sull'asse positivo.

Equivalentemente, è di 90 gradi (π/

2

radianti) meno l'angolo di inclinazione.

Se l'inclinazione è zero o 180 gradi (π radianti), l'azimut può essere scelto a piacimento.

Assumendo un raggio zero, l'azimut e l'inclinazione possono essere scelti a piacimento.

Il vettore di posizione di un dato punto P è il vettore da O, l'origine, a P.

Ci sono un certo numero di modi diversi in cui le tre coordinate possono essere rappresentate, e per la sequenza appropriata in cui comporle.

L'uso di (r,\theta ,\varphi ) per denotare la distanza radiale, l'inclinazione (o elevazione) e l'azimut, rispettivamente, la fisica utilizza abitualmente come metodo, ISO 80000-2:2019 è lo standard che governa questo, ISO 31-11 o precedente (1992).

Questo articolo, dato quanto sopra, deve aderire allo standard ISO, {\displaystyle (r,\theta ,\varphi ),} fornisce la distanza radiale, l'angolo polare e l'azimut della bussola.

Tuttavia, alcuni autori (inclusi i matematici) usano ρ per la distanza radiale, φ per l'inclinazione (o elevazione) e θ per l'azimut, notando che la distanza r è dall'asse z, che offre una progressione naturale dalla notazione convenzionale per le coordinate polari.

L'azimut può precedere l'inclinazione in alcune opere (o elevazione).

Un sistema di coordinate sinistrorso è il risultato di un sottoinsieme di queste opzioni.

La convenzione standard