Riquadro di delimitazione minimo: Svelare il potere dell'ottimizzazione spaziale nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Che cos'è il riquadro di delimitazione minimo

In geometria, il riquadro di delimitazione minimo o il riquadro di delimitazione più piccolo per un insieme di punti S in N dimensioni è il riquadro con la misura più piccola entro cui tutti i punti mentono. Quando vengono utilizzati altri tipi di misure, il riquadro minimo viene solitamente chiamato di conseguenza, ad esempio "riquadro di delimitazione del perimetro minimo".

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Riquadro di delimitazione minimo

Capitolo 2: Scafo convesso

Capitolo 3: Rilevamento delle collisioni

Capitolo 4: Geometria computazionale

Capitolo 5: Volume delimitato

Capitolo 6: Sfera delimitata

Capitolo 7: R-albero

Capitolo 8: Politopo convesso

Capitolo 9: Rettangolo di delimitazione minima

Capitolo 10: Algoritmi dello scafo convesso

(II) Risposte al pubblico domande principali sul riquadro di delimitazione minimo.

(III) Esempi reali dell'utilizzo del riquadro di delimitazione minimo in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che desiderano andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di riquadro di delimitazione minimo.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 5 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Riquadro di delimitazione minimo

Il riquadro di delimitazione o di inclusione più basso o più piccolo per un insieme di punti S in N dimensioni è il riquadro con la misura più piccola (area, volume o ipervolume nelle dimensioni superiori) che contiene tutti i punti. Quando vengono impiegate diverse unità di misura, il riquadro minimo viene in genere definito riquadro di delimitazione del perimetro minimo.

Il fatto che il riquadro di delimitazione minimo di un insieme di punti sia identico al riquadro di delimitazione minimo del suo scafo convesso può essere sfruttato per velocizzare i calcoli.

Le etichette box e hyperrectangle derivano dal loro utilizzo nel sistema di coordinate cartesiane, dove sono rappresentate come un rettangolo (caso bidimensionale), un parallelepipedo rettangolare (istanza tridimensionale), ecc.

In due dimensioni, viene definito rettangolo di delimitazione minimo.

Il riquadro di delimitazione minimo allineato all'asse (o AABB) per un determinato insieme di punti è il riquadro di delimitazione minimo i cui bordi sono paralleli agli assi delle coordinate (cartesiane). È il prodotto cartesiano di N intervalli determinati dal valore minimo e massimo della coordinata associata per ogni punto in S.

I riquadri di delimitazione minimi allineati agli assi vengono utilizzati per approssimare la posizione di un oggetto e per descriverne la forma in modo molto semplice. Nella geometria computazionale e nelle sue applicazioni, ad esempio, quando è necessario individuare le intersezioni in un gruppo di oggetti, le intersezioni tra i loro MBB fungono da controllo iniziale. A causa del fatto che è in genere un'operazione considerevolmente meno costosa rispetto al controllo effettivo dell'intersezione (perché richiede semplicemente confronti di coordinate), consente di omettere rapidamente i controlli di accoppiamenti che sono molto distanti.

Il rettangolo di selezione minimo orientato arbitrariamente è il rettangolo di selezione minimo calcolato senza restrizioni di orientamento. Gli algoritmi del riquadro di delimitazione minimo basati sul metodo dei calibri rotanti possono trovare il riquadro di delimitazione dell'area minima o del perimetro minimo di un poligono convesso bidimensionale in tempo lineare e di un punto tridimensionale impostato nel tempo necessario per costruire il suo guscio convesso seguito da un calcolo in tempo lineare.

Quando un oggetto dispone di un proprio sistema di coordinate locale, può essere vantaggioso salvare un rettangolo di selezione relativo a questi assi, che non richiede la trasformazione in quanto cambia la trasformazione dell'oggetto.

Nell'elaborazione digitale delle immagini, il rettangolo di selezione è semplicemente le coordinate del bordo rettangolare che racchiude completamente un'immagine digitale quando viene visualizzata su una pagina, un'area di lavoro, uno schermo o un altro sfondo bidimensionale.

{Fine Capitolo 1}

Capitolo 2: Scafo convesso

Lo scafo convesso, l'inviluppo convesso o la chiusura convessa di una forma nella geometria è l'insieme convesso più piccolo che contiene la forma. Lo scafo convesso può essere definito come l'intersezione di tutti gli insiemi convessi contenenti un particolare sottoinsieme di uno spazio euclideo, o come l'insieme di tutte le combinazioni convesse di punti nel sottoinsieme. Per un sottoinsieme limitato del piano, lo scafo convesso può essere visto come la forma contenuta da un elastico esteso.

Gli scafi aperti sono gli scafi convessi degli insiemi aperti, mentre i set compatti hanno gli scafi convessi compatti.

Ogni set compatto convesso è lo scafo convesso delle sue estremità.

L'operatore a scafo convesso è un esempio di operatore di chiusura, ogni antimatroide può essere rappresentato applicando questo operatore di chiusura a insiemi di punti finiti.

Trovare il guscio convesso di un numero finito di punti nel piano o in altri spazi euclidei a bassa dimensionalità presenta sfide algoritmiche, e il duplice problema della sovrapposizione dei semispazi, sono problemi essenziali di geometria computazionale.

Possono essere risolti nel tempo O(n\log n) per insiemi di punti bidimensionali o tridimensionali, e nel tempo corrispondendo alla complessità di output del caso peggiore data dal teorema del limite superiore in dimensioni più alte.

Gli involucri convessi sono stati esplorati anche per i poligoni semplici, il moto browniano, le curve spaziali e le epigrafi di funzioni, oltre agli insiemi di punti finiti. In matematica, statistica, ottimizzazione combinatoria, economia, modellazione geometrica ed etologia, i gusci convessi hanno numerosi usi. Il cranio convesso, il guscio convesso ortogonale, gli strati convessi, la triangolazione di Delaunay e il diagramma di Voronoi sono strutture correlate.

Un insieme di punti in uno spazio euclideo è convesso se contiene i segmenti di linea che collegano ogni coppia dei suoi punti.

Lo scafo convesso di un dato insieme X può essere definito come

L'insieme convesso minimo (unico) contenente X

L'intersezione di tutti gli insiemi convessi contenenti X

L'insieme di tutte le combinazioni convesse di punti in X

L'unione di tutti i simplices con i vertici in X

Per gli insiemi che sono limitati nel piano euclideo, non in una singola linea, il contorno dello scafo convesso è la curva chiusa semplice con perimetro minimo contenente X .

Si può immaginare di allungare un elastico in modo che circondi l'intero set S e poi rilasciarlo, permettendogli di restringersi; quando si stringe, racchiude lo scafo convesso di S .

Per gli oggetti tridimensionali, la definizione iniziale dello scafo convesso specifica che si tratta del volume limite convesso più piccolo possibile. La definizione che utilizza intersezioni di insiemi convessi può essere estesa alla geometria non euclidea, e la definizione che utilizza combinazioni convesse può essere estesa da spazi euclidei a spazi vettoriali reali arbitrari o spazi affini; I gusci convessi possono anche essere astrattamente generalizzati a matroidi orientate.

Non è ovvio che la prima definizione abbia senso: perché dovrebbe esistere un unico insieme convesso minimo contenente X , per ogni X ? Tuttavia, il secondo significato, l'intersezione di tutti gli insiemi convessi contenenti X , è chiaramente definito.

È un sottoinsieme di ogni altro insieme convesso Y che contiene X , perché Y è incluso tra gli insiemi intersecati.

Pertanto, è esattamente l'unico set convesso minimo contenente X .

Pertanto, le due definizioni iniziali sono identiche.

Ogni insieme convesso contenente X deve (assumendo che sia convesso) contenere