Computer grafica bidimensionale: Esplorazione del regno visivo: computer grafica bidimensionale nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Cos'è la computer grafica bidimensionale

La grafica computerizzata 2D è la generazione computerizzata di immagini digitali, principalmente da modelli bidimensionali e mediante tecniche ad essi specifiche. Può riferirsi al ramo dell'informatica che comprende tali tecniche o ai modelli stessi.

Come trarrai beneficio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Grafica computerizzata 2D

Capitolo 2: Matrice ortogonale

Capitolo 3: Ellissoide

Capitolo 4: Rotazione (matematica)

Capitolo 5: Matrice di trasformazione

Capitolo 6: Matrice di rotazione

Capitolo 7: Formalismi di rotazione in tre dimensioni

Capitolo 8: Rappresentazione asse-angolo

Capitolo 9: Cinematica

Capitolo 10: Operatore di rotazione tridimensionale

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sulla computer grafica bidimensionale.

(III) Esempi reali per l'utilizzo della computer grafica bidimensionale in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di Computer Grafica Bidimensionale.

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 5 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Computer grafica 2D

La generazione di immagini digitali su un computer, in genere da modelli bidimensionali (come modelli geometrici 2D, testo e immagini digitali) e l'utilizzo di metodi personalizzati per questi tipi di modelli è nota come computer grafica 2D. Potrebbero essere intesi sia i modelli stessi che il campo dell'informatica che li include.

La tipografia, la cartografia, il disegno tecnico, la pubblicità, ecc. sono tutti esempi di applicazioni che si basano sulla computer grafica 2D. In questi casi i modelli bidimensionali sono preferiti alla computer grafica tridimensionale perché consentono un maggiore controllo diretto sull'immagine. Questo perché l'immagine bidimensionale è più di una semplice rappresentazione di un oggetto del mondo reale; Ha anche un valore semantico aggiuntivo (il cui approccio è più simile alla fotografia che alla tipografia).

Le descrizioni dei documenti basate su tecniche di computer grafica 2D possono essere significativamente più piccole dell'immagine digitale corrispondente in molti campi, tra cui il desktop publishing, l'ingegneria e il business. Poiché questa rappresentazione può essere renderizzata a risoluzioni variabili per adattarsi a una varietà di dispositivi di output, è anche più versatile. Questo è il motivo per cui i file grafici 2D sono comunemente utilizzati per l'archiviazione e il trasporto di documenti e immagini.

I dispositivi di grafica vettoriale degli anni '50 hanno aperto la strada alla prima computer grafica 2D. Nei decenni successivi, i dispositivi basati su raster sono diventati la norma. Due delle innovazioni più importanti in questo campo sono il linguaggio PostScript e il protocollo X Window System.

Nei modelli grafici 2D sono possibili combinazioni di modelli geometrici (noti anche come grafica vettoriale), immagini digitali (note anche come grafica raster), testo da comporre (descritto in base al contenuto, allo stile e alla dimensione del carattere, al colore, alla posizione e all'orientamento), funzioni ed equazioni matematiche e altri tipi di informazioni. Le trasformazioni geometriche bidimensionali, come la traslazione, la rotazione e la scalatura, consentono una manipolazione facile e precisa di queste parti. Un oggetto con un metodo di auto-rendering, un processo che assegna arbitrariamente i colori ai pixel dell'immagine, descrive l'immagine in grafica orientata agli oggetti. Nei paradigmi di programmazione orientati agli oggetti, i modelli complessi sono costruiti a partire da sottomodelli.

I principi della geometria euclidea, In geometria, una traslazione sposta ogni punto di una certa distanza fissa in una certa direzione.

Un tipo di moto rigido è la traslazione; Altri tipi includono la rotazione e la riflessione.

È anche possibile pensare a una traslazione come al processo di aggiunta di un vettore costante a ciascun punto, o come se l'origine del sistema di coordinate fosse spostata.

Un operatore di traslazione è un operatore T_\mathbf{\delta} tale che T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).

Quando v è un vettore costante, allora la traslazione Tv funzionerà come Tv(p) = p + v.

In teoria, se T è una traslazione, se A è un sottoinsieme e T è una funzione, allora la traduzione di A per T è l'immagine di A sotto T.

La traduzione di A da Tv è spesso scritta A + v.

Ogni traslazione in uno spazio euclideo è anche un'isometria. L'insieme di tutte le traslazioni è chiamato gruppo di traslazione T, ed è un sottogruppo ordinario del gruppo euclideo E, essendo isomorfo allo spazio stesso (n ). Il gruppo ortogonale O è un isomorfismo del gruppo quoziente E(n) di T. (n):

E(n ) / T ≅ O(n ).

A differenza di una trasformazione lineare, una traslazione è una trasformazione affine, L'operatore di traslazione è in genere rappresentato da una matrice, che lo rende lineare, quando vengono utilizzate coordinate omogenee.

Quindi scriviamo il vettore tridimensionale w = (wx, wy, wz) usando 4 coordinate omogenee come w = (wx, wy, wz, 1).

Ogni vettore omogeneo p (in coordinate omogenee) deve essere moltiplicato per questa matrice di traslazione se un oggetto deve essere traslato da un vettore v:

T_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Il prodotto della moltiplicazione è quello mostrato nella tabella seguente:

T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y\\ 0 & 0 & 1 & v_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{p} + \mathbf{v}

Per trovare l'inversa di una matrice di traslazione, è sufficiente invertire la direzione del vettore:

T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

Allo stesso modo, moltiplicando i vettori si ottiene il prodotto di due matrici di traslazione:

T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \!

La moltiplicazione delle matrici di traslazione è commutativa perché l'addizione vettoriale è commutativa (a differenza della moltiplicazione di matrici arbitrarie).

Una matrice di rotazione, in algebra lineare, è una matrice che ruota un oggetto nello spazio euclideo.

R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}

ruota i punti nel piano xy-cartesiano in senso antiorario di un angolo θ attorno all'origine del sistema di coordinate cartesiane.

Per effettuare la rotazione viene utilizzata una matrice di rotazione R, le coordinate di ogni punto devono essere espresse come vettore in direzione verticale, costituito dalle coordinate del punto.

La moltiplicazione della matrice Rv produce un vettore ruotato.

Per chiarire, il vettore zero (cioè non è influenzato dalla moltiplicazione della matrice, basata su coordinate di grado zero), Solo le rotazioni attorno all'origine del sistema di coordinate possono essere descritte per mezzo di matrici di rotazione.

Tali rotazioni possono essere facilmente descritte algebricamente con l'aiuto di matrici di rotazione e svolgono un ruolo cruciale nei calcoli geometrici, nella fisica e nelle interfacce grafiche.

All'interno dei confini di un piano, una rotazione può essere semplicemente descritta da un angolo θ di rotazione, In alternativa, le 4 voci di una matrice di rotazione 22 possono essere utilizzate per rappresentarla.

Per quanto riguarda la terza dimensione, si veda anche il teorema di rotazione di Eulero, che afferma che ogni rotazione può essere riformulata come una rotazione angolare attorno a un singolo asse immutabile, che può essere ridotto a un angolo e a un vettore a tre elementi.

Tuttavia, in alternativa, può essere rappresentato dalle 9 voci di una matrice di rotazione 33.

In dimensioni maggiori di tre, la rotazione è raramente impiegata; Uno spostamento rotazionale è qualcosa di cui si può parlare, che una matrice può essere utilizzata per rappresentare, non essendoci un singolo asse o angolo associato ad esso.

Una matrice di rotazione è una matrice quadrata le cui voci sono tutte reali. Per essere più precisi, sono matrici ortogonali determinanti-1:

R^{T} = R^{-1}, \det R = 1\, .

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali n-by-n forma un gruppo chiamato SO (n).

Di seguito è riportata la forma che assume ogni matrice di rotazione bidimensionale:

R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}} .

Moltiplicando la seguente matrice, i vettori colonna vengono ruotati:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}

.

Dopo la rotazione, le coordinate del punto originale (x,y) sono:

x'=x\cos \theta -y\sin \theta \, , y'=x\sin \theta +y\cos \theta \, .

Il senso di rotazione del vettore è in senso antiorario se θ è positivo (ad es.

90°), e in senso orario se θ è negativo (es.

-90°).

R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}\,

.

Nel caso di un sistema cartesiano destrorso, verso destra lungo l'asse x e verso l'alto lungo l'asse y, la rotazione R(θ) è in senso antiorario.

Affinché un sistema cartesiano sinistrorso funzioni, con x che punta a destra e y che punta verso il basso, R(θ) è in senso orario.

In matematica, tali prospettive insolite sono raramente impiegate, ma nella computer grafica 2D sono comuni, che in genere iniziano in alto a sinistra e si spostano in senso orario verso il basso nella pagina.

Altre possibili convenzioni che alterano il significato di una rotazione prodotta da una matrice sono discusse di seguito.

Particolarmente utili sono le matrici per rotazioni di 90° e 180°:

R(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\[3pt] 1 & 0 \\ \end{bmatrix} (rotazione di 90° in senso antiorario)

R(180^\circ) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 \\ \end{bmatrix} (rotazione di 180° in entrambe le direzioni – mezzo giro)

R(270^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[3pt] -1 & 0 \\ \end{bmatrix} (rotazione di 270° in senso antiorario, uguale a una rotazione di 90° in senso orario)

La scala uniforme, nota anche come scala isotropa, dilatazione omogenea e omotetà, è una trasformazione lineare nella geometria euclidea che ingrandisce o riduce gli oggetti dello stesso fattore di scala in tutte le direzioni. Quando si ridimensiona tutto con lo stesso fattore, il risultato finale è geometricamente simile all'originale. Nella maggior parte dei casi, è possibile considerare le forme congruenti come simili con un fattore di scala pari a 1. (Alcuni libri di testo lo escludono esplicitamente, proprio come alcuni libri di testo escludono la possibilità che un quadrato sia un rettangolo o un cerchio sia un'ellisse.)

L'approccio più generale consiste nell'utilizzare un fattore di scala diverso per ciascun asse. Quando almeno uno dei fattori di scala è distinto dagli altri, si ha una scalatura non uniforme (scalatura anisotropa, dilatazione disomogenea); Il ridimensionamento direzionale o l'allungamento è un caso speciale di questo (in una direzione). Quando un oggetto viene ridimensionato in modo non uniforme, la sua forma cambia di conseguenza. Ad esempio, un quadrato i cui lati non sono paralleli agli assi di scala diventa un rettangolo o un parallelogramma (gli angoli tra le linee parallele agli assi vengono mantenuti, ma non tutti gli angoli).

Una matrice di ridimensionamento è una rappresentazione di un ridimensionamento.

Per scalare un oggetto di un vettore v = (vx, vy, vz), ogni punto p = (px, py, pz) dovrebbe essere moltiplicato con questa matrice di scala:

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.

Il prodotto della moltiplicazione è quello mostrato nella tabella seguente:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.

Una scala a tre fattori modifica le dimensioni di un oggetto nel modo seguente: il suo diametro viene ridotto di un fattore tra i fattori di scala, la sua superficie viene aumentata di un fattore tra il prodotto più piccolo e quello più grande di due fattori di scala e il suo volume viene diminuito del prodotto di tutti e tre i fattori di scala.

La scala è uniforme se e solo se i fattori di scala sono uguali (vx = vy = vz).

Quando tutti i fattori di scala tranne uno sono 1, la situazione è la seguente:, La nostra scala è direzionale.

Nel caso in cui vx = vy = vz = k, la scalatura di un fattore k è anche nota come allargamento o dilatazione, aumentando l'area di un fattore di k² e il volume di un fattore di k3.

Nel suo senso più ampio, scalare si riferisce a qualsiasi trasformazione affine la cui matrice può essere diagonalizzata. Quando le tre dimensioni del ridimensionamento non sono parallele l'una all'altra, anche questo è considerato un caso. Sono inclusi anche scenari in cui uno o più fattori di scala sono zero (come in una proiezione) o negativi. Quest'ultima è equivalente a una generalizzazione della riflessione nel piano, e si ottiene prendendo la riflessione nel punto in cui due rette intersecano un piano che non deve necessariamente essere perpendicolare a nessuna di esse.

Nell'ambito della geometria proiettiva, tipica dell'ambito della computer grafica, le coordinate omogenee vengono utilizzate per rappresentare i punti.

Per scalare un oggetto di un vettore v = (vx, vy, vz), ogni vettore di coordinate omogenee p = (px, py, pz, Questa matrice di trasformazione proiettiva dovrebbe essere moltiplicata per (1, 1):

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.

Il prodotto della moltiplicazione è quello mostrato nella tabella seguente:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.

Utilizzando questa matrice di scala, possiamo ottenere una scala uniforme con un fattore comune s (scala