Pillole di didattica della matematica
Di Marino Marzo
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Anteprima del libro
Pillole di didattica della matematica - Marino Marzo
insegnante.
Capitolo 1
Sistemi di numerazione posizionali.
Un concetto basilare per l’apprendimento della matematica è la rappresentazione posizionale dei numeri.
Nei numerosi anni di insegnamento in cui ho avuto a che fare con ragazzi di età inferiore ai 16 anni, ho constatato quelle che sono le più ricorrenti imprecisioni, difficoltà ed errori dovuti alla mancata acquisizione e riconoscimento del significato della scrittura posizionale dei numeri.
Una prima tipologia di errore è la confusione concettuale tra il numero e la sua rappresentazione scritta. Ad esempio il numero ventitre (cardinalità degli insiemi composti da ventitre elementi), è confuso con le diverse rappresentazioni scritte dello stesso numero, 23 nel sistema indo-arabico, XXIII nel sistema romano, 10111 nel sistema a base 2, 212 nel sistema a base 3, 113 nel sistema a base 4, 43 nel sistema a base 5, ecc.
Altre tipologie di errori sono relative alla scrittura dei numeri in cifre corrispondenti a quelli in lettere, può capitare, ad esempio, di vedere scritto il numero tremilacinquecento così, 3000500 piuttosto che 3500.
Altre volte troviamo difficoltà, nelle operazioni di base tra numeri, dovute ad errato incolonnamento degli stessi, segno evidente che l’allievo non ha acquisito chiaramente il concetto di posizionalità del sistema di numerazione.
Altra tipologia di errore, che ho riscontrato con una certa frequenza, è la difficoltà di riconoscere l’ordine dei numeri decimali, ad esempio, nel confrontare due numeri decimali come 18,27 e 18,5, gli allievi, trovandosi di fronte a due numeri con ugual parte intera, pensano al confronto tra le parti decimali 27 e 5 che considerano come numeri interi, saltano il concetto di posizionalità (27 centesimi, 5 decimi) concludendo che 18,27 è maggiore di 18,5, poiché 27 è maggiore di 5.
L’esperienza acquisita nei numerosi anni di insegnamento mi ha suggerito di prendere come obiettivo basilare, nel lavoro didattico di introduzione dei sistemi di numerazione posizionali, quel quid comune a tutti i sistemi di numerazione posizionali, e cioè, quel meccanismo di raggruppamento, esplicitabile attraverso l’abaco, che si ripete successivamente insieme ad un adeguato sistema scritto-grafico di registrazione.
Come fase motivazionale per introdurre i sistemi di numerazione posizionali ed avviare quel meccanismo di raggruppamento e registrazione dei risultati, ho pensato di partire da un problema-gioco, quello seguente, da proporre agli allievi invitandoli alla ricerca della soluzione.
"Ad un signore che era seduto ad osservare il tramonto del sole, un gruppo di ragazzi chiese quale fosse la sua età.
Il signore, che aveva un debole per i numeri così rispose:
Se conto per gruppi di 2 posso dirvi che sono passati 110 anni da quando sono nato a quando ho iniziato ad andare a scuola;
A scuola sono stato per 122 anni contati per gruppi di 3, gli anni più spensierati della mia vita;
Come ho smesso di studiare ho iniziato a lavorare, cosa che ho fatto per 123 anni contati per gruppi di 5;
Da allora, altri 1011 contati per gruppi di 2, vengo spesse volte qui a osservare la bellezza dei tramonti del sole.
Lascio a voi il piacere di calcolare la mia età".
Si può davvero contare per gruppi di 2, o di 3, o di 5, ecc?
Se si, quali quantità corrispondono a scritture del tipo 1010 a gruppi di 2, o 122 a gruppi di 3, o 123 a gruppi di 5?
La situazione problematica, il signore che presenta in modo insolito, curioso e quasi giocoso la sua età, potrebbe essere stimolante e motivante per indurre i ragazzi a seguire in modo interessato la lezione per giungere alla scoperta della sua età.
Nell’esperienza didattica che stiamo affrontando, si farà ricorso ad uno strumento basilare, l’abaco, adattabile, a tutti i sistemi di numerazione posizionali.
Strumento rudimentale utile per contare e operare con i numeri nel sistema di numerazione decimale. Apportando semplici modifiche, questo strumento può essere utilizzato per imparare a contare per gruppi di 2, o di 3, o di 8, ecc…
Cominceremo a vedere come è possibile, con questo strumento, contare e registrare una determinata quantità di oggetti per gruppi di due (successivi raggruppamenti e registrazione scritta di una quantità a gruppi di due).
La prima cosa da fare è quella di far realizzare ai ragazzi, con materiale povero facilmente reperibile, un abaco rudimentale, speciale, come quello della fig. sottostante, che registri una determinata quantità di oggetti via via che andremo a raggrupparli a gruppi di 2.
In questo abaco nell’ultima asta andremo a registrare il numero di oggetti che restano dopo il primo raggruppamento che possono essere 0 oppure 1.
Nella penultima asta andremo a registrare il numero dei gruppi di 2 che restano dopo il secondo raggruppamento che possono essere 0 oppure 1.
Nella terzultima asta andremo a registrare il numero dei gruppi di 4 che restano dopo il terzo raggruppamento che possono essere 0 oppure 1.
E così via
Questo abaco, con alcune varianti, sarà utilizzato per tutti i modi di raggruppare, è l’oggetto che accomuna tutti i sistemi di numerazione posizionali. Se vogliamo, ad esempio, raggruppare una quantità di oggetti per gruppi di 5, basterà sostituire nell’abaco il 2 con il 5, come mostra la figura seguente.
Cominciano a vedere come si procede per contare una determinata quantità di oggetti per gruppi di 2.
Diciamo ai ragazzi che nelle aste dell’abaco, andremo a sistemare i resti dei successivi raggruppamenti che andremo ad operare.
Prendiamo, ad esempio, 23 smile, che devono essere contati per gruppi di 2 e vediamo come si procede.
Invitiamo i ragazzi a dividere (raggruppare) gli smile a due a due.
Facciamo osservare ai ragazzi che la rimanenza (resto) di questa prima operazione di raggruppamento può solo essere: 1 smile, 0 smile, nel caso in esame è 1 smile.
In questa prima operazione di raggruppamento (divisione), si ottengono undici gruppi da 2 smile (quoziente), la rimanenza (resto) è 1 smile.
Sistemiamo (registriamo) nell'abaco dei gruppi di 2, sotto l'ultima asta, quella delle unità, lo smile resto della prima divisione.
Mettiamo, sempre nell'ultima asta, una targhetta con la cifra 1, proprio per indicare che dal primo raggruppamento (divisione) dei ventitre smile in gruppi di 2, è rimasto 1 smile.
Invitiamo i ragazzi a dividere (raggruppare) gli undici gruppi di 2 smile ciascuno, ancora a due a due.
Facciamo osservare ai ragazzi che ciascun raggruppamento, questa volta, contiene 2 gruppi da due smile ciascuno, ossia, 4 smile, e che la rimanenza (resto) di questa operazione di raggruppamento può solo essere: 1 gruppo da due smile o 0 gruppi da due smile.
Il quoziente della divisione per gruppi di 2x2=4 smile è di 5 gruppi; il resto della divisione è 1 gruppo da 2 smile.
Sistemiamo nell'abaco dei gruppi di 2, nella penultima asta, quella dei gruppi di 2, il gruppo di smile resto della seconda divisione.
Mettiamo, sempre nella penultima asta, una targhetta con la cifra 1, proprio per indicare che dal secondo raggruppamento (divisione) delle undici coppie di smile, è rimasto di resto 1 gruppo di 2 smile.
Invitiamo i ragazzi a dividere (raggruppare) i cinque gruppi di 2x2=4 smile ciascuno, a due a due.
Facciamo osservare ai ragazzi che ciascun raggruppamento, questa volta, contiene 2 gruppi da 2x2x2=8 smile ciascuno, e che la rimanenza (resto) di questa operazione di raggruppamento può solo essere: 1 gruppo da 2x2=4 smile o 0 gruppi da 2x2 smile.
Il quoziente della divisione per gruppi di 2x2x2=8 smile è 2 gruppi;
il resto della divisione è 1 gruppo da 2x2=4;
Sistemiamo nell'abaco dei gruppi di 2, sotto la terzultima asta, quella dei gruppi di 2x2=4, gli smile resto della terza divisione (raggruppamento), 1 gruppo da 2x2=4 smile.
Mettiamo, sempre nella terzultima asta, una targhetta con la cifra 1, proprio per indicare che dal terzo raggruppamento (divisione) delle 5 quaterne di smile, è rimasto di resto 1 gruppo di 2x2=4 smile.
Invitiamo i ragazzi a dividere (raggruppare) i due gruppi di 2x2x2=8 smile ciascuno, a due a due.
Facciamo osservare ai ragazzi che ciascun raggruppamento, questa volta, contiene 2 gruppi da 2x2x2x2=16 smile ciascuno, e che la rimanenza (resto) di questa operazione di raggruppamento può solo essere: 1 gruppo da 2x2x2=8 smile o 0 gruppi da 2x2x2