Il libro di matematica: volume 3

Di Simone Malacrida

In questo libro è presentata la maggior parte della matematica, partendo dai concetti basilari ed elementari, fino a sondare i settori più complessi e avanzati.
La matematica è affrontata sia dal punto di vista teorico, esponendo i teoremi e le definizioni di ogni particolare tipologia, sia a livello pratico, andando a risolvere oltre 1'000 esercizi.
L'approccio alla matematica è dato da una conoscenza progressiva, esponendo i vari capitoli in ordine logico di modo che il lettore possa costruire un percorso continuo nello studio di tale scienza.
L'intero libro è suddiviso in tre distinte sezioni: la matematica elementare, quella avanzata data dall'analisi e dalla geometria ed infine la parte riguardante la statistica, l'algebra e la logica.
Lo scritto si pone come opera omnicomprensiva riguardo la matematica, non tralascando alcun aspetto delle molteplici sfaccettature che essa può assumere.

• Lingua: Italiano
• Editore: Simone Malacrida
• Data di uscita: 5 dic 2022
• ISBN: 9798215096079

Simone Malacrida

Simone Malacrida (1977) Ha lavorato nel settore della ricerca (ottica e nanotecnologie) e, in seguito, in quello industriale-impiantistico, in particolare nel Power, nell'Oil&Gas e nelle infrastrutture. E' interessato a problematiche finanziarie ed energetiche. Ha pubblicato un primo ciclo di 21 libri principali (10 divulgativi e didattici e 11 romanzi) + 91 manuali didattici derivati. Un secondo ciclo, sempre di 21 libri, è in corso di elaborazione e sviluppo.

Anteprima del libro

Il libro di matematica

Volume 3

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SIMONE MALACRIDA

In questo libro è presentata la maggior parte della matematica, partendo dai concetti basilari ed elementari, fino a sondare i settori più complessi e avanzati.

La matematica è affrontata sia dal punto di vista teorico, esponendo i teoremi e le definizioni di ogni particolare tipologia, sia a livello pratico, andando a risolvere oltre 1'000 esercizi.

L’approccio alla matematica è dato da una conoscenza progressiva, esponendo i vari capitoli in ordine logico di modo che il lettore possa costruire un percorso continuo nello studio di tale scienza.

L’intero libro è suddiviso in tre distinte sezioni: la matematica elementare, quella avanzata data dall’analisi e dalla geometria ed infine la parte riguardante la statistica, l’algebra e la logica.

Lo scritto si pone come opera omnicomprensiva riguardo la matematica, non tralascando alcun aspetto delle molteplici sfaccettature che essa può assumere.

Simone Malacrida (1977)

Ingegnere e scrittore, si è occupato di ricerca, finanza, politiche energetiche e impianti industriali.

I libri pubblicati si possono trovare qui:

http://www.amazon.com/-/e/B00J23W2N4

INDICE ANALITICO

37 - EQUAZIONI INTEGRALI E INTEGRO-DIFFERENZIALI

Introduzione e definizioni

Equazioni integrali di Fredholm e di Volterra

Calcolo delle variazioni

Esercizi

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38 - TEORIA SPETTRALE

Definizioni

Classificazione dello spettro

Teorema di Riesz

Funzioni di operatori autoaggiunti

Operatori non negativi

Il teorema spettrale

Misure spettrali ed integrali

Misura spettrale di un operatore

Il teorema di Stone

Applicazione: equazione di Schrodinger

Applicazione: oscillatore armonico

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39 - MATEMATICA E GEOMETRIA DISCRETA

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40 - GEOMETRIA FRATTALE

Introduzione

Tipologie di frattali

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41 - CALCOLO NUMERICO

Introduzione

Calcolo delle radici di un polinomio

Risoluzioni di sistemi matriciali

Esercizi

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42 - ANALISI NUMERICA

Introduzione

Interpolazione di funzioni

Definizioni

Discretizzazione dell integrale

Metodo delle differenze finite

Metodo degli elementi finiti

Esercizi

PARTE TERZA: STATISTICA, ALGEBRA AVANZATA E LOGICA AVANZATA

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43 - CALCOLO COMBINATORIO

Fattoriale e coefficiente binomiale

Disposizioni, combinazioni e permutazioni

Esercizi

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44 - STATISTICA ELEMENTARE

Probabilità

Probabilità condizionata e teorema di Bayes

Statistica

Parametri statistici

Esercizi

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45 - VARIABILI ALEATORIE E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA

Variabili aleatorie, distribuzioni e proprietà

Disuguaglianze notevoli

Convergenza

Distribuzioni discrete

Distribuzioni continue

Esercizi

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46 - INFERENZA STATISTICA

Introduzione

Teoria della stima

Verifica di ipotesi

Regressione

Inferenza bayesiana

Esercizi

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47 - PROCESSI STOCASTICI

Definizioni

Catene di Markov e altri processi

Esercizi

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48 - ALGEBRA AVANZATA

Introduzione e definizioni

Tipologie di algebra

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49 - STRUTTURE ALGEBRICHE

Introduzione e definizioni

Teoria delle categorie e caratteristica di Eulero

Gruppi e teoria dei gruppi

Semigruppi, gruppoidi, quasi gruppi e loop

Monoidi, reticoli. magmi

Anelli

Corpi e campi

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50 - TEORIA DI GALOIS

Polinomi simmetrici e moduli di Cauchy

Relazioni simmetriche

Gruppo di Galois

Moduli fondamentali e riduzione del gruppo di Galois

Proprietà del gruppo di Galois

Estensione per gruppi abeliani e gruppi primitivi

Equazioni binomie

Risolubilità per radicali

Teorema fondamentale

Il problema inverso di Galois

Altri risultati

Risoluzione di equazioni di secondo grado

Risoluzione di equazioni di terzo grado

Risoluzione di equazioni di quarto grado

Teorema di Ruffini-Abel

Monodromia

Visione topologica

Risultati della teoria topologica

Esercizi

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51 - GEOMETRIA COMBINATORIA

Introduzione

Grafi

Alberi

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52 - TEORIA DEI NUMERI

Definizioni

Aritmetica modulare

Teoremi notevoli

Tipologie di numeri

Funzioni e altri teoremi

Congetture

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53 - LOGICA MATEMATICA AVANZATA

Teoria degli ordini

Aritmetica di Robinson e di Peano

Sistemi assiomatici

Teoria assiomatica degli insiemi

Teoremi di Godel

Paradossi e antinomie

Altri sistemi logici

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37

EQUAZIONI INTEGRALI E INTEGRO-DIFFERENZIALI

Introduzione e definizioni

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Un’equazione integrale è un’equazione che presenta l’incognita sotto il segno di integrale.

A dire il vero, ogni volta che si risolve un’equazione differenziale, la formula risolutiva è un’equazione integrale, quindi abbiamo già detto molto di tali equazioni nei capitoli precedenti. Un’equazione integrale lineare presenta una forma di questo tipo:

Dove K(x,z) è il nucleo dell’equazione (che può essere reale o complesso, simmetrico o antisimmetrico) e f(x) è il termine noto.

Se f(x) è diverso da zero si parla di equazioni di seconda specie, se è uguale a zero di equazioni di prima specie.

Equazioni integrali di Fredholm e di Volterra

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Nelle equazioni integrali, l’integrale è definito quindi si hanno degli estremi di integrazione.

Se tali estremi sono fissi si parla di equazione integrale di Fredholm, se invece uno degli estremi è variabile in x l’equazione è detta di Volterra.

Si definisce operatore di Fredholm un operatore lineare limitato tra spazi di Banach avente nucleo e conucleo di dimensione finita.

Inoltre, detto T un operatore di Fredholm (da uno spazio X a uno Y) e S un operatore lineare e limitato (dallo spazio Y a quello X) si ha che

sono operatori compatti su X e su Y.

L’indice di un operatore di Fredholm è definito come segue:

L’insieme degli operatori di Fredholm forma un insieme aperto nello spazio di Banach degli operatori lineari limitati e continui.

L’indice della composizione di due operatori di Fredholm è pari alla somma degli indici dei singoli operatori, inoltre l’operatore di Fredholm aggiunto ha indice opposto rispetto a quello di partenza.

Infine, dato un operatore di Fredholm ed uno compatto, la loro convoluzione restituisce ancora un operatore di Fredholm avente il medesimo indice di quello di partenza.

Il prodotto tensoriale tra uno spazio di Banach e il suo duale è uno spazio completo dotato della seguente norma:

Lo spazio definito dal completamento con tale norma è denotato in questo modo (detto B il generico spazio di Banach) .

Un nucleo di Fredholm è un elemento di questo spazio topologico proiettivo.

Ad ogni nucleo si può associare una traccia e un operatore lineare di forma canonica:

Inoltre, ogni nucleo è detto p-sommabile se vale la seguente relazione:

La teoria di Fredholm parte dal presupposto che il nucleo di Fredholm sia equiparabile ad una funzione di Green, soluzione dell’equazione differenziale:

Dove L è un operatore differenziale lineare.

Applicando tale equazioni a spazi di Sobolev e scrivendo l’equazione precedente come un’equazione agli autovalori:

Si può ricavare un’espressione del nucleo di Fredholm:

Per l’equazione di Fredholm non omogenea possiamo riscrivere in tale modo il termine noto:

E la soluzione è data da:

Utilizzando la teoria spettrale, l’operatore risolvente è il seguente:

E la soluzione è data da:

Il teorema di Fredholm fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza delle soluzioni delle equazioni di Fredholm: il nucleo deve essere a quadrato sommabile in un opportuno insieme.

L’alternativa di Fredholm fornisce una condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza delle soluzioni: la soluzione deve essere ortogonale all’insieme completo delle soluzioni della corrispondente equazione aggiunta ossia dell’equazione di Fredholm ottenuta sostituendo il nucleo di Fredholm con il suo aggiunto e ogni scalare con il suo complesso coniugato.

In questi casi il risolvente può essere sviluppato in serie di potenze tramite la serie di Liouville-Neumann:

Se il nucleo è continuo, ogni equazione integrale di Fredholm ha un’unica soluzione per un termine noto qualunque e la soluzione, rappresentata dalla serie di Liouville-Neumann, è uniformemente convergente.

Il determinante di Fredholm è il seguente:

Mentre il determinante del risolvente è la cosiddetta funzione zeta di Riemann:

Un’equazione di Fredholm non omogenea del primo tipo avente estremi di integrazione illimitati e nucleo definito così K(x,z)=K(x-z) può essere vista come la convoluzione di K(x,z) e di y(z) quindi la soluzione può essere scritta in termini di trasformata di Fourier o anti-trasformata di Fourier:

Vi sono altre equazioni integrali e integro-differenziali di cui è disseminata la fisica, in particolare possiamo ricordare le equazioni di Maxwell per l’elettromagnetismo, l’equazione di comprimibilità per la meccanica statistica e la termodinamica e l’equazione di Boltzmann per la fisica statistica.

Calcolo delle variazioni

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Un campo di applicazione fondamentale delle equazioni integrali riguarda il calcolo delle variazioni ossia la ricerca dei punti estremali dei funzionali.

Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni afferma che date una funzione continua in un aperto e una funzione continua e derivabile con continuità nel medesimo aperto, se vale la seguente condizione:

E la funzione continua e derivabile con continuità vale zero in entrambi gli estremi, allora l’altra funzione è nulla in tutto l’aperto.

Grazie a tale lemma è possibile passare da una versione integrale del calcolo delle variazioni, come il principio variazionale di Hamilton, alla risoluzione di equazioni differenziali, come quelle di Eulero-Lagrange.

Esercizi

Esercizio 1

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Risolvere la seguente equazione integrale:

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Ricordando la regola della convoluzione della trasformata di Laplace:

Applichiamo la trasformata di Laplace ad ambo i membri e sfruttiamo la linearità:

Sapendo la trasforma della funzione seno e la regola della convoluzione:

Da cui:

Isolando la trasformata:

Che si può riscrivere come:

A questo punto, applichiamo l’anti-trasformata di Laplace e si ha la soluzione:

Esercizio 2

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Risolvere la seguente equazione integro-differenziale:

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Applichiamo la trasformata di Laplace e ci ricordiamo della sua linearità:

Ricordando la trasformata della derivata, dell’unità, del seno e la regola di convoluzione si ha:

Isoliamo la trasformata:

Da cui:

Scomponendo il denominatore:

Fattorizzando in frazioni semplici:

I coefficienti saranno dati da:

Quindi:

A questo punto non resta che anti-trasformare secondo Laplace.

Esercizio 3

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Trovare la soluzione dell’equazione di Fredholm, equazione integrale, non omogenea, lineare e di II specie:

Dove lambda è un parametro arbitrario, mentre:

Sono funzioni date e continue in [a,b]. K(x,y) è detto nucleo dell’equazione e vale:

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Nello spazio C[a,b] si consideri:

La definizione di distanza implica che:

Se succede:

L’applicazione A è una contrazione nello spazio C[a,b]. Tale spazio è completo.

Per il teorema delle contrazioni, l’equazione presenta, per un lambda sufficientemente piccolo, una e una sola soluzione data da:

Esercizio 4

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Risolvere, nel senso delle distribuzioni, la seguente equazione di Abel:

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Ricordando la funzione gamma di Eulero, l’equazione di Abel si può scrivere come:

Dove:

E il prodotto indicato sopra è la convoluzione nel senso delle distribuzioni.

Per le proprietà della convoluzione distribuzionale si ha:

Usando la relazione esplicita, ricaviamo la soluzione:

Esercizio 5

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Usando il metodo del risolvente, trovare la soluzione di:

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Il primo nucleo iterato è nulla, difatti:

Quindi il nucleo è ortogonale a se stesso e la soluzione è ottenuta semplicemente sostituendo la g(x) sotto il segno di integrale:

Esercizio 6

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Usando il metodo delle contrazioni, risolvere:

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Notiamo che:

Prendendo il massimo si ha:

L’operatore B è una contrazione.

Posto:

Si trova:

Quindi tale funzione è un punto fisso ed è la soluzione.

Esercizio 7

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Usando il metodo del risolvente, calcolare:

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Posto:

Si ha:

Il metodo del risolvente si può utilizzare se:

In tale caso:

E quindi:

La soluzione è dunque:

Esercizio 8

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Trovare la soluzione dell’equazione di Volterra utilizzando sia il metodo delle contrazioni sia quello del risolvente:

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Per il metodo delle contrazioni, prendiamo:

Si ha:

Per il metodo del risolvente, consideriamo il nucleo di Fredholm troncato:

I nuclei iterati saranno dati da:

E quindi il risolvente è:

La soluzione è dunque:

Esercizio 9

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Calcolare autovalori e autofunzioni dell’equazione integrale:

Dove:

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Il nucleo è definito da una funzione limitata ed è a quadrato sommabile in [0,1] x [0,1].

Inoltre esso è simmetrico.

Il nucleo può essere scritto come:

Gli autovalori e le autofunzioni sono dati da:

Per:

Non ci sono soluzioni, mentre per:

Vi sono infinite soluzioni date da:

Esercizio 10

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Usando il metodo dell’alternativa di Fredholm, risolvere:

Dove:

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Il nucleo è definito da una funzione limitata e a quadrato sommabile, inoltre è simmetrico.

Possiamo riscriverlo come:

L’equazione agli autovalori è data da:

Essa ha soluzioni solo per:

Tali soluzioni sono:

Notiamo che, per qualunque n, si ha:

Ciò significa che esiste una e una sola soluzione qualunque sia g(x), difatti:

Tale soluzione è:

Esercizio 11

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Usando la tecnica dei nuclei degeneri, risolvere:

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Ricordiamo che i nuclei degeneri sono della forma:

Dove:

Sono vettori linearmente indipendenti.

La soluzione può essere scritta come:

Nel nostro caso, si ha:

Integrando si ottiene:

Ciò porta al seguente sistema:

La soluzione è dunque:

Esercizio 12

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Trovare le soluzioni di:

Con:

Dove u soddisfa l’equazione di Eulero-Lagrange.

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L’equazione di Eulero-Lagrange è data da:

L’unica soluzione che soddisfa le condizioni agli estremi è:

Tale soluzione però non è un minimo, difatti data la successione:

Si ha:

Dato che:

Allora m=0.

Tuttavia il funzionale I ammette minimi nella classe di funzioni continue e regolari a tratti ossia in tutte quelle funzioni che ammettono un numero finito di discontinuità di prima specie nella derivata.

Ne segue che si possono costruire infinite funzioni di tale tipo che soddisfano l’equazione e sono dei minimi.

Esercizio 13

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Trovare le soluzioni del seguente funzionale integrale che non ammette soluzioni nella classe delle funzioni :

Con funzione integranda convessa e tale che u soddisfi l’equazione di Eulero-Lagrange con:

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Si avrà:

Con c e d costanti reali.

Non esistono soluzioni di classe .

Considerando inoltre che:

Non esistono nemmeno soluzioni nella classe delle funzioni regolari a tratti.

Esercizio 14

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Trovare l’estremale di:

Dove u soddisfa l’equazione di Eulero-Lagrange e si ha:

––––––––

Dovendo soddisfare l’equazione di Eulero-Lagrange si ha:

E quindi:

Le funzioni sono una famiglia di iperboli.

Imponendo le condizioni al contorno si ha:

L’estremale è quindi:

Esercizio 15

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Trovare l’estremale di:

Con:

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Si ha:

Da cui:

Si tratta di una famiglia di circonferenze con centro sull’asse delle ascisse.

La soluzione, se esiste, è unica.

Esercizio 16

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Trovare le soluzioni del funzionale:

Dove u soddisfa l’equazione di Eulero-Lagrange e si ha:

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Si ha che:

Quindi una soluzione è:

La funzione deve essere continua in c quindi:

Inoltre:

E quindi:

Si ricavano due soluzioni.