Geometria proiettiva: Esplorazione della geometria proiettiva nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Cos'è la geometria proiettiva

La geometria proiettiva è una branca della matematica che si concentra sullo studio delle qualità geometriche che rimangono invariate indipendentemente dalle trasformazioni che vengono loro applicate. Ciò indica che, a differenza della semplice geometria euclidea, la geometria proiettiva è caratterizzata da un ambiente distinto, uno spazio che è oggetto del progetto e un insieme limitato di nozioni geometriche fondamentali. Per una data dimensione, le intuizioni fondamentali sono che lo spazio proiettivo ha un numero maggiore di punti rispetto allo spazio euclideo e che sono consentite trasformazioni geometriche che trasformano i punti extra in punti euclidei e viceversa.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Geometria proiettiva

Capitolo 2 : Piano proiettivo

Capitolo 3: Spazio proiettivo

Capitolo 4: Geometria affine

Capitolo 5: Teorema di Desargues

Capitolo 6: Dualità (geometria proiettiva)

Capitolo 7: Quadrilatero completo

Capitolo 8: Omografia

Capitolo 9: Configurazione di Desargues

Capitolo 10: Conica sezione

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico sulla geometria proiettiva.

(III) Esempi reali per l'utilizzo della geometria proiettiva in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che desiderano andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di geometria proiettiva.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 30 apr 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Geometria proiettiva

La geometria proiettiva è la branca della matematica che si occupa dello studio delle qualità geometriche che sono invarianti sotto trasformazioni proiettive. La geometria proiettiva, quindi, utilizza un ambiente diverso da quello della geometria euclidea tradizionale e impiega un sottoinsieme più piccolo delle nozioni fondamentali della geometria. Ci sono più punti nello spazio proiettivo che nello spazio euclideo della stessa dimensione, e sono consentite trasformazioni geometriche che convertono i punti extra (chiamati punti all'infinito) in punti euclidei, e viceversa.

Questo nuovo concetto di trasformazione, più radicale nelle sue conseguenze di quanto possa essere affermato da una matrice di trasformazione e dalle traslazioni, ma mantiene proprietà significative per la geometria proiettiva (le trasformazioni affini). Il primo problema affrontato dai matematici in un territorio inesplorato è determinare quale tipo di geometria sia appropriata. Come si può osservare nel disegno prospettico, gli angoli non sono invarianti rispetto alle trasformazioni proiettive, quindi non possono essere indicati allo stesso modo nella geometria proiettiva come lo sono nella geometria euclidea. La nozione di prospettiva è stata fonte di ispirazione per la geometria proiettiva. Tradotta nel linguaggio della geometria proiettiva, l'idea che due rette parallele si incontrino all'infinito assume un nuovo significato. Ancora una volta, questa idea è fondata sul buon senso; Ad esempio, in un disegno prospettico, le linee ferroviarie convergono verso l'orizzonte. Per un'introduzione alla geometria proiettiva in due dimensioni, vedere il piano proiettivo.

Sebbene i concetti fossero disponibili prima, la geometria proiettiva non decollò fino al diciannovesimo secolo. Tra queste aree c'è la teoria dello spazio proiettivo complesso, in cui i numeri complessi sono utilizzati come coordinate (coordinate omogenee). La geometria proiettiva fu l'impulso per lo sviluppo di diverse importanti branche della matematica più astratta, come la teoria degli invarianti, la scuola italiana di geometria algebrica e il programma di Erlangen di Felix Klein, che portò allo studio dei gruppi classici. Come geometria sintetica, il campo ha attirato numerosi esperti a sé stante. La geometria finita è un'altra area che è scaturita dalla ricerca assiomatica sulla geometria proiettiva.

Molti sottocampi di studio si sono sviluppati dal campo originale della geometria proiettiva; Ad esempio, la geometria algebrica proiettiva (lo studio delle varietà proiettive) e la geometria differenziale proiettiva (lo studio degli invarianti differenziali delle trasformazioni proiettive).

Geometria non metrica di base, la geometria proiettiva non si basa sulla misurazione della distanza. A partire dalla disposizione di punti e linee in due dimensioni. Desargues e altri, indagando i fondamenti dell'arte prospettica, furono i primi a scoprire che c'è, in effetti, un certo fascino geometrico in questo contesto arido. I teoremi che possono essere applicati alla geometria proiettiva sono risultati essere più brevi e più diretti. Alcuni teoremi riguardanti i cerchi possono essere visti come esempi particolari di questi teoremi generali, e nella geometria proiettiva (complessa), le varie sezioni coniche sono uguali tra loro.

La geometria proiettiva emerse come branca della matematica grazie agli sforzi di matematici come Jean-Victor Poncelet e Lazare Carnot all'inizio del XIX secolo. Come la geometria affine ed euclidea, la geometria proiettiva può essere derivata dal programma di Erlangen di Felix Klein; La geometria proiettiva è caratterizzata da invarianti sotto trasformazioni del gruppo proiettivo.

Come risultato di un intenso studio del vasto corpo di teoremi nel campo, sono state stabilite le basi della geometria proiettiva. Ci sono due invarianti fondamentali nelle trasformazioni proiettive: la struttura di incidenza e il rapporto incrociato. Se aggiungiamo una linea (iperpiano) all'infinito al piano affine (o spazio affine) e poi la trattiamo come se fosse ordinaria, abbiamo un modello per la geometria proiettiva. La ricerca assiomatica, d'altra parte, ha scoperto piani non desarguesiani come prova che gli assiomi di incidenza possono essere modellati (in sole due dimensioni) da strutture inaccessibili al ragionamento attraverso sistemi di coordinate omogenei.

Sia la geometria proiettiva che la geometria ordinata possono servire come base per la geometria affine ed euclidea, rendendole fondamentalmente semplici. fornendo così una premessa unica su cui costruire la geometria.

A Pappo di Alessandria, vissuto nel III secolo, è attribuita la scoperta delle prime proprietà geometriche proiettive. Desargues ha creato un nuovo metodo di disegno prospettico che tiene conto della circostanza in cui il punto di fuga è all'infinito. Egli estese l'ambito della geometria per includere la situazione generale della geometria euclidea, in cui le rette parallele sono effettivamente parallele. Blaise Pascal, all'età di 16 anni, fu ispirato a sviluppare il teorema di Pascal dal lavoro di Desargues sulle sezioni coniche. La successiva crescita della geometria proiettiva deve molto ai contributi di Gaspard Monge all'inizio del XIX secolo. L'opera di Desargues fu dimenticata fino al 1845, quando Michel Chasles ne scoprì una copia in un cassetto. Nel frattempo, nel 1822 apparve l'opera fondamentale sulla geometria proiettiva di Jean-Victor Poncelet. Usando il polo di cemento e la relazione polare per quanto riguarda un cerchio, Poncelet stabilì una connessione tra qualità metriche e proiettive studiando l'invarianza degli oggetti sotto la proiezione centrale. Modelli, come il modello di Klein dello spazio iperbolico, sono stati infine dimostrati esistere per le geometrie non euclidee appena scoperte.

Nel 1855 l'A.

F.

Möbius scrisse un articolo sulle permutazioni, ora chiamate trasformazioni di Möbius, di cerchi generalizzati su piani complessi.

Le proiettività della linea proiettiva complessa sono qui rappresentate da queste trasformazioni.

Per lo studio delle linee spaziali, Julius Plücker ha usato coordinate omogenee nella sua descrizione, poi abbiamo esaminato l'insieme di linee sulla quadrica di Klein, uno dei primi contributi della geometria proiettiva a una disciplina in via di sviluppo chiamata geometria algebrica, una branca della geometria ispirata alle tecniche proiettive.

Le ipotesi di Lobachevski e Bolyai sulla geometria iperbolica si sono dimostrate corrette in gran parte grazie ai modelli per il piano iperbolico forniti dalla geometria proiettiva. Nel caso di specie, il modello del disco di Poincaré in cui i cerchi generalizzati perpendicolari al cerchio unitario corrispondono a linee iperboliche (geodetiche), e le traslazioni di questo modello sono descritte dalle trasformazioni di Möbius che mappano il disco unitario su se stesso.

Una metrica di Cayley-Klein viene utilizzata per calcolare la distanza tra due punti, in base al rapporto incrociato, quindi è nota per essere invariante di traslazione, invariante centrale della proiezione.

Nella teoria degli spazi metrici, le traslazioni sono classificate come una varietà di isometrie, trasformate lineari parziali, il gruppo lineare proiettivo, e come trasformazioni lineari di quel gruppo, ad esempio, SU(1), 1).

Poncelet, Jakob Steiner e altri non si proponevano di ampliare la geometria analitica con il loro lavoro. I metodi sintetici sono stati pensati per essere implementati, con lo spazio proiettivo come lo conosciamo ora aggiunto assiomaticamente. Pertanto, potrebbe essere difficile riformulare il lavoro iniziale sulla geometria proiettiva in modo che sia rigoroso per gli standard odierni. I metodi assiomatici possono fornire modelli che sfidano la descrizione dell'algebra lineare, anche nella semplice istanza del piano proiettivo.

Clebsch, Riemann, Max Noether e altri spinsero i limiti dei metodi esistenti in geometria studiando le curve algebriche universali; A ciò seguì lo sviluppo della teoria degli invarianti. La scuola italiana di geometria algebrica (Enriques, Segre, Severi) si è ramificata dalla materia tradizionale alla fine del secolo, in un ambito che richiedeva tecniche più avanzate.

Sebbene esista una grande quantità di materiale scritto sull'argomento, la geometria proiettiva cadde in disgrazia nella seconda metà del XIX secolo. In particolare, Schubert ha svolto alcuni lavori di geometria enumerativa che ora sono visti come prefiguratori della teoria delle classi di Chern, che sono intese per descrivere la topologia algebrica dei Grassmanniani.

Lo sviluppo della meccanica quantistica da parte di Paul Dirac si basava fortemente sulla geometria proiettiva. Heisenberg era scosso e scoraggiato dall'idea che le osservazioni quantistiche potessero fallire nel commutare, mentre Dirac, che aveva già studiato i piani proiettivi su anelli non commutativi, era probabilmente meno influenzato da questo nuovo sviluppo. Nel suo ultimo lavoro, Dirac si affidò molto ai disegni di geometria proiettiva per cogliere il significato intuitivo delle sue equazioni prima di mettere su carta le sue scoperte in un approccio puramente algebrico.

Rispetto alla geometria euclidea e alla geometria affine, la geometria proiettiva è più flessibile. È una geometria in cui i fatti stanno in piedi da soli senza la necessità di un quadro metrico. La struttura di incidenza e la relazione dei coniugati armonici proiettivi non sono influenzati dalle trasformazioni proiettive. Il lavoro di base è un intervallo proiettivo unidimensionale. Una delle idee fondamentali della prospettiva è l'incontro di rette parallele all'infinito, e la geometria proiettiva formalizza questa idea. In linea di principio, una geometria proiettiva può essere intesa come un'estensione della geometria euclidea in cui la direzione di ogni linea è incorporata nella linea come un punto aggiuntivo e un orizzonte di direzioni corrispondenti a linee complanari è visto come una linea. Quindi, se due linee viaggiano nella stessa direzione, alla fine si incroceranno all'orizzonte.

I punti all'infinito denotano direzioni idealizzate, mentre le linee all'infinito denotano orizzonti idealizzati. Di conseguenza, queste linee sono piatte all'infinito nel piano. Tuttavia, l'infinito è un termine metrico, quindi in una geometria strettamente proiettiva, tutti i punti, le linee e i piani sono considerati allo stesso modo indipendentemente dalla loro distanza dall'origine.

A causa del fatto che la geometria proiettiva ha una base più semplice della geometria euclidea, i risultati generali della geometria euclidea possono essere derivati in modo più comprensibile nell'ambito della geometria proiettiva, dove teoremi distinti ma analoghi della geometria euclidea possono essere trattati collettivamente. Ad esempio, le coordinate omogenee possono essere utilizzate per posizionare un piano proiettivo arbitrario all'infinito, eliminando la necessità di distinguere tra linee parallele e non parallele.

Il Teorema di Desargues e il Teorema di Pappo sono altre due proprietà di vitale importanza. È possibile dimostrare il Teorema di Desargues usando una costruzione specifica in spazi proiettivi di dimensione 3 o superiore. Al contrario, per la dimensione 2 è necessario un postulato separato.

Il Teorema di Desargues viene utilizzato, se preso insieme agli altri assiomi, I passi rudimentali dell'aritmetica possono essere definiti, geometricamente.

Gli assiomi del campo sono soddisfatti dalle operazioni risultanti, con l'eccezione che la commutatività della moltiplicazione richiede il teorema dell'esagono di Pappo.