L'estensione nello spazio - Seconda edizione

Di Leonardo Riosa

E' possibile, in qualche maniera, passare dai cerchi immateriali e incorporei dei diagrammi di Venn, comunemente utilizzati nella Teoria degli Insiemi, ai cerchi materiali e corporei dello spazio di Euclide ? Secondo questo libro la risposta è sì, perchè l'estensione nello spazio corrisponde ad una struttura matematica ben precisa, di cui si discute qui. E' la struttura che consente il passaggio dall' incorporeo al corporeo, dallo spazio metaforico allo spazio geometrico.

• Lingua: Italiano
• Editore: Youcanprint
• Data di uscita: 17 ott 2022
• ISBN: 9791221428599

Anteprima del libro

La trattazione matematica dell’estensione nello spazio

I diagrammi di Venn

L’idea di rappresentare i concetti tramite cerchi si perde nella notte dei tempi. Probabilmente è un’esigenza spontanea della mente umana, come quella di contare, tanto è vero che già i filosofi greci alludevano alle idee e ai concetti come a sfere. 

La teoria dei concetti intesi come cerchi metaforici che si intersecano ed entrano in relazione tra loro venne introdotta dal matematico svizzero Leohnard Euler nel XVIII secolo. Stranamente Euler, uno dei matematici più importanti e prolifici di tutti i tempi, pur essendo un virtuoso nelle tecniche di calcolo, riconosceva l’importanza della logica, dimostrandosi un precursore anche in quest’ambito. 

Il filosofo tedesco Arthur Schopenhauer pubblicò nel 1818 il suo capolavoro, Il mondo come volontà e rappresentazione, dove il mondo come rappresentazione corrisponde, in senso kantiano, al mondo inteso come fenomeno, cioè alla realtà interpretabile dalla mente. Schopenhauer dedicò ampio spazio alla teoria dei concetti di Euler, riportando alcuni esempi di unione e intersezione tra cerchi metaforici, ritenendo questo procedimento un’esigenza della ragione umana, una trasposizione dei sillogismi aristotelici e della teoria del giudizio di Kant.

Nel 1880 il matematico inglese John Venn riprese le idee di Euler e le approfondì nel suo lavoro Sulla rappresentazione figurativa e meccanica delle proposizioni e dei ragionamenti, consegnandoci un modello di questa teoria che viene accettato ancora oggi nel XXI secolo, tanto è vero che questi cerchi metaforici sono tuttora chiamati diagrammi di Venn.

Nei diagrammi di Venn, se il concetto A implica il concetto B, ne risulta che il cerchio A è incluso nel cerchio B. 

Nella prossima immagine vediamo che la presenza di vetture o di computer implica in entrambi i casi l’esistenza di esseri umani. La presenza di biciclette implica solamente la presenza di vetture, mentre la presenza di un sistema GPS implica sia la presenza di vetture che di computer, pertanto corrisponde all’intersezione di questi due cerchi.

In realtà i diagrammi di Venn non vengono utilizzati in questo modo.

In genere non vengono utilizzati per esprimere inferenze logiche di esistenza o di presenza, ma, in maniera più semplice, per mettere in relazione singoli concetti.

Nella prossima immagine vediamo che i concetti di filosofo e di imperatore implicano entrambi quello di mortale, per cui corrispondono a due cerchi inclusi nel terzo. Socrate implica solamente l’idea di filosofo, quindi è incluso nel cerchio dei filosofi, mentre Marco Aurelio era sia filosofo che imperatore, pertanto corrisponde all’intersezione di questi due cerchi. 

Si noti che i cerchi dei diagrammi di Venn non corrispondono a insiemi, ma a concetti, tanto è vero che John Venn era interessato a studiare le leggi del pensiero.  

Contemporaneamente a Venn, un altro matematico più giovane di lui, Georg Cantor, iniziò a divulgare i propri lavori sull’infinito attuale e gli insiemi numerici.

Cantor ipotizzava che potessero esserci infiniti più grandi di altri, e nei suoi lavori utilizzava i diagrammi di Venn per mettere in relazione insiemi di oggetti e studiarne la molteplicità.

Le idee di Cantor ebbero vasta risonanza, pertanto i diagrammi di Venn vennero subito associati alla sua Teoria degli insiemi, che poco aveva a che fare con John Venn, determinando una serie di paradossi, alcuni dei quali verranno risolti nei prossimi paragrafi.

Il possibile

Uno dei più grandi paradossi della teoria degli insiemi è l'ipotesi dell'insieme universo. Nella teoria degli insiemi i diagrammi di Venn appaiono sospesi nel vuoto, come se lo schermo del computer, o la pagina bianca che li visualizza, fosse una sorta di insieme universo che li contiene. Questo concetto non sembra logicamente plausibile. Se osserviamo i singoli diagrammi, notiamo che un cerchio è più grande di un altro non perché spazialmente più esteso, ma perché corrisponde a un concetto più generico, che include l’altro. La prossima immagine lo mette in evidenza.

Per esempio il cerchio del quadrupede è più grande del cerchio del cane, non perché i quadrupedi siano più grossi dei cani, ma perché il concetto di quadrupede è più generico di quello di cane. Allo stesso modo il cerchio del mortale è più grande del cerchio del filosofo, non perché i mortali siano più grossi dei filosofi, ma perché il concetto di mortale è più generico di quello di filosofo. La maggiore estensione dei cerchi nei diagrammi di Venn non corrisponde a una maggiore estensione spaziale, ma solamente a un’estensione metaforica, cioè si tratta di un concetto implicato dall’altro. Invece, distorcendo questo punto di vista, si pensa poi che questi cerchi siano sospesi in un insieme universo più grande fisicamente, spazialmente più esteso, che li contenga geometricamente, invece che metaforicamente. Probabilmente si tratta di un errore di logica. Ciò che viene comunemente chiamato insieme universo nel nostro caso verrà definito il possibile, perché qualsiasi oggetto non contraddittorio implica la possibilità. Pertanto i cerchi dei diagrammi di Venn sono sospesi all'interno dell'unico generico oggetto possibile, cioè l’oggetto più astratto che si possa immaginare, ma non in un fantomatico insieme universo spazialmente illimitato. Il possibile è una sorta di elemento neutro della nostra capacità di pensare e tutti i concetti risultano inclusi in esso. Così come l’unità è l’elemento neutro della moltiplicazione e tutte le frazioni risultano incluse in essa. La prossima immagine chiarisce questo concetto.

L'unione di un insieme con il suo complementare restituisce il possibile, non l'insieme universo, perché se noi affermiamo l’esistenza di esseri umani, oppure no, oppure diciamo che un oggetto può essere un triangolo, oppure no, allora stiamo affermando qualsiasi cosa sia possibile.

L'ipotesi dell'insieme universo nasce alla fine del XIX secolo, ma a partire dai primi anni del secolo successivo mostra già le prime incrinature e paradossi logici, il più famoso dei quali è quello enunciato da Bertrand Russell, per cui questo insieme dovrebbe sia contenere che non contenere se stesso.

Un’obiezione che si potrebbe sollevare è che il possibile, contrariamente all’insieme universo, è un oggetto singolo, che non prevede alcuna molteplicità, mentre sul foglio bianco possiamo rappresentare più concetti tramite cerchi. Ma la risposta a questa obiezione consiste nell’osservare che i cerchi che andiamo ad aggiungere sono sempre connessi tra loro da una relazione or, cioè sono alternativi tra loro, per cui non esiste alcuna molteplicità fisica, ma solo logica.

I raggruppamenti

Ma se i diagrammi di Venn corrispondono a concetti, gli insiemi cosa sono? Esistono gli insiemi? La risposta è sì. 

Ogni oggetto dei nostri pensieri può essere immaginato in maniera duale, cioè come una serie di elementi disgiunti tra loro, in somma logica, oppure congiunti, in un prodotto logico. Per esempio, un singolo giorno della settimana può essere pensato come il lunedì, oppure il martedì, fino ad arrivare alla domenica. Questo concetto può essere espresso tramite la seguente proposizione:

G = LU or MA or ME or GI or VE or SA or DO

Dopodiché possiamo pensare la settimana, cioè l’insieme di quei giorni, come gli stessi elementi in prodotto logico, sostituendo l’operatore or con and:

S = LU and MA and ME and GI and VE and SA and DO

Il problema di quest’ultima proposizione è che il suo risultato