Orthographic Projection: Esplorazione della proiezione ortografica nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Che cos'è la proiezione ortografica

La proiezione ortografica è un mezzo per rappresentare oggetti tridimensionali in due dimensioni. La proiezione ortografica è una forma di proiezione parallela in cui tutte le linee di proiezione sono ortogonali al piano di proiezione, facendo sì che ogni piano della scena appaia in trasformazione affine sulla superficie di visualizzazione. Il dritto di una proiezione ortografica è una proiezione obliqua, ovvero una proiezione parallela in cui le linee di proiezione non sono ortogonali al piano di proiezione.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Proiezione ortografica

Capitolo 2: Matrice ortogonale

Capitolo 3: Proiezione isometrica

Capitolo 4: Disegno tecnico

Capitolo 5: Proiezione 3D

Capitolo 6: Proiezione assonometrica

Capitolo 7: Geometria descrittiva

Capitolo 8: Proiezione obliqua

Capitolo 9: Proiezione parallela

Capitolo 10: Assonometria

(II) Rispondere alle domande più importanti del pubblico sulla proiezione ortografica.

(III) Esempi reali dell'utilizzo della proiezione ortografica in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di proiezione ortografica.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 4 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Proiezione ortogonale

La proiezione ortogonale (anche proiezione ortogonale e analemma) provoca la trasformazione affine di ciascun piano dell'immagine sulla superficie di visualizzazione. In una proiezione obliqua, le linee di proiezione non sono ortogonali al piano di proiezione.

Nella proiezione multivista, l'ortogonale può riferirsi a una tecnica in cui gli assi o i piani principali del soggetto sono paralleli al piano di proiezione per creare le viste primarie. Se i piani o gli assi principali di un oggetto in una proiezione ortogonale non sono paralleli al piano di proiezione, la rappresentazione è assonometrica o ausiliaria. (Proiezione assonometrica e proiezione parallela sono sinonimi.) Le piante, i prospetti e le sezioni sono sottotipi delle viste primarie; Le proiezioni isometriche, dimetriche e trimetriche sono sottotipi di viste ausiliarie.

Una lente telecentrica che fornisce una proiezione ortogonale è una lente oggetto-spazio.

La seguente matrice definisce una proiezione ortogonale diretta sul piano z = 0:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Per ogni punto v = (vx, vy, vz), il punto convertito Pv sarebbe

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Spesso, è più vantaggioso utilizzare coordinate omogenee. Per coordinate omogenee, la trasformazione di cui sopra può essere espressa come

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Per ogni vettore omogeneo v = (vx, vy, vz, 1), il vettore Pv dopo la trasformazione sarebbe

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Nella computer grafica, una delle matrici più frequentemente utilizzate per la proiezione ortogonale è specificata dalla tupla a 6 (sinistra, destra, basso, alto, vicino, lontano), che specifica i piani di ritaglio. Questi piani creano un riquadro con l'angolo più piccolo in corrispondenza di (a sinistra, in basso, -vicino) e l'angolo più grande in corrispondenza di (a destra, in alto, -lontano) (a destra, in alto, -lontano).

La scatola viene quindi scalata al cubo unitario, che è definito come avente il suo angolo minimo in (1,1,1) e il suo angolo più grande in (1,1,1). (1,1,1).

La seguente matrice rappresenta la trasformazione ortogonale:

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Questo può essere espresso come una scala S seguita da una traslazione T secondo la forma

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

L'inversione della matrice di proiezione P−1, può essere impiegata come matrice di non proiezione:

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La proiezione isometrica, la proiezione dimetrica e la proiezione trimetrica sono tre sottotipi di proiezione ortogonale, a seconda dell'angolo esatto con cui la vista si discosta dall'ortogonale. Nei disegni assonometrici, come in altre forme di diagrammi, un asse dello spazio è tipicamente raffigurato come verticale.

Nella vista isometrica, il tipo più diffuso di proiezione assonometrica utilizzata nei disegni tecnici, la direzione della visione è tale che tutti e tre gli assi dello spazio sembrano essere proporzionalmente compressi e c'è un angolo comune di 120° tra di loro.

Poiché la distorsione indotta dallo scorcio è uniforme, le proporzioni tra le lunghezze vengono mantenute e gli assi hanno la stessa scala; Ciò facilita l'acquisizione di misure dirette dal disegno.

Un altro vantaggio è che gli angoli di 120° sono facilmente costruibili utilizzando solo un compasso e una riga.

Nella proiezione dimetrica, la direzione di visione è tale che due dei tre assi dello spazio sembrano ugualmente compressi, con la scala e gli angoli di presentazione che ne derivano impostati dall'angolo di visione; La scala della terza direzione è determinata individualmente. I disegni dimetrici contengono in genere approssimazioni di quote.

Nella proiezione trimetrica, la direzione di visualizzazione è tale che i tre assi dello spazio appaiono compressi in modo disuguale. La scala lungo ciascuno dei tre assi e gli angoli tra di essi sono determinati in modo indipendente in base all'angolo di visione. Nei disegni trimetrici, le approssimazioni di quotatura sono comuni, anche se la prospettiva trimetrica è raramente impiegata nei disegni tecnici.

La proiezione multivista produce fino a sei immagini di un oggetto, note come viste primarie, con ciascun piano di proiezione parallelo a uno degli assi delle coordinate dell'oggetto. Il posizionamento relativo delle viste è determinato da uno dei due schemi: proiezione del primo angolo o del terzo angolo. Gli aspetti delle viste vengono proiettati su piani che formano un riquadro a sei lati attorno all'oggetto. Sebbene sia possibile disegnare sei lati diversi, tre viste di un disegno forniscono informazioni sufficienti per creare un oggetto tridimensionale. Queste prospettive sono denominate vista frontale, vista dall'alto e vista finale. Queste prospettive sono note anche come pianta, prospetto e sezione. Quando il piano o l'asse dell'elemento rappresentato non è perpendicolare al piano di proiezione e quando nella stessa immagine sono visibili numerosi lati di un oggetto, si parla di vista ausiliaria. Pertanto, nella proiezione multivista, la proiezione isometrica, la proiezione dimetrica e la proiezione trimetrica sarebbero definite viste ausiliarie. Un asse dello spazio è tipicamente presentato verticalmente, che è un segno distintivo della proiezione multivista.

Una mappa di proiezione ortogonale è una proiezione cartografica. La proiezione ortogonale, come le proiezioni stereografiche e gnomoniche, è una proiezione prospettica (o azimutale) in cui la sfera viene proiettata su un piano tangente o secante. Il punto prospettico per una proiezione ortogonale è infinitamente lontano. Ritrae un emisfero della Terra visto dallo spazio, con l'orizzonte rappresentato da un grande cerchio. Soprattutto vicino ai margini, le forme e le regioni sono deformate.

{Fine Capitolo 1}

Capitolo 2: Matrice ortogonale

Una matrice ortogonale o matrice ortonormale è una matrice quadrata reale in algebra lineare le cui colonne e righe sono vettori ortonormali.

Una possibile espressione è

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}

dove QT è la trasposizione di Q e I è la matrice identità.

Ne risulta una definizione identica: una matrice Q è ortogonale se la sua trasposta è uguale alla sua inversa:

{\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},}

dove Q−1 è l'inverso di Q.

Una matrice ortogonale Q è necessariamente invertibile (con l'inverso Q−1 = QT), unitaria (Q−1 = Q∗), dove Q∗ è l'aggiunta hermitiana (trasposta coniugata) di Q, e quindi normale (Q∗Q = QQ∗) sui numeri reali.

+1 o -1 è il determinante di qualsiasi matrice ortogonale.

Come risultato di una trasformazione lineare, una matrice che conserva il prodotto interno dei vettori è ortogonale, e quindi funziona come un'isometria dello spazio euclideo, include una rotazione o riflessione rotazionale.

Vale a dire, è una metamorfosi unitaria.

L'insieme di n × n matrici ortogonali, sotto moltiplicazione, crea il gruppo O (n), detto gruppo ortogonale.

Il gruppo ortogonale speciale