Proiezione isometrica: Esplorare la percezione spaziale nella visione artificiale

Di Fouad Sabry

Che cos'è la proiezione isometrica

La proiezione isometrica è un metodo per rappresentare visivamente oggetti tridimensionali in due dimensioni nei disegni tecnici e ingegneristici. Si tratta di una proiezione assonometrica in cui i tre assi delle coordinate appaiono ugualmente scorciati e l'angolo tra due di essi è di 120 gradi.

Come trarrai vantaggio

(I) Approfondimenti e convalide sui seguenti argomenti:

Capitolo 1: Proiezione isometrica

Capitolo 2: Proiezione ortografica

Capitolo 3: Proiezione 3D

Capitolo 4: Angoli di Eulero

Capitolo 5: Matrice di rotazione

Capitolo 6: Quaternioni e rotazione spaziale

Capitolo 7: Proiezione obliqua

Capitolo 8: Matrice di trasformazione

Capitolo 9: Blocco cardanico

Capitolo 10: Tetraedro

(II) Rispondere alle principali domande del pubblico su proiezione isometrica.

(III) Esempi reali dell'utilizzo della proiezione isometrica in molti campi.

A chi è rivolto questo libro

Professionisti, studenti universitari e laureati, appassionati, hobbisti e coloro che vogliono andare oltre le conoscenze o le informazioni di base per qualsiasi tipo di proiezione isometrica.

 

 

• Lingua: Italiano
• Editore: Un Miliardo Di Ben Informato [Italian]
• Data di uscita: 4 mag 2024

Anteprima del libro

Capitolo 1: Proiezione isometrica

Nei disegni tecnici e ingegneristici, la proiezione isometrica viene utilizzata per creare un'immagine bidimensionale di un oggetto tridimensionale. Si tratta di una proiezione assonometrica, in cui l'angolo tra due assi qualsiasi è di 120 gradi e tutti e tre sembrano essere accorciati della stessa quantità.

Isometrica, dal greco per uguale misura, è una proiezione in cui la scala rimane costante lungo tutti gli assi (a differenza di altre forme di proiezione grafica).

Selezionando un punto di vista in cui le proiezioni degli assi x e y formano angoli retti si ottiene una prospettiva isometrica, y, entrambi gli assi x e z sono equivalenti, o 120°.

Ad esempio, usando un cubo, lo si fa fissando intensamente lo sguardo sul volto di quella persona.

Successivamente, il cubo viene ruotato ±45° attorno all'asse verticale, seguito da una rotazione di circa 35.264° (precisamente arcsin ¹⁄√³ o arctan ¹⁄√², È perpendicolare all'asse x e ha qualcosa a che fare con l'angolo magico.

Come si può vedere nell'immagine, il perimetro della rappresentazione 2D risultante di un cubo è un esagono regolare, con tutte le linee nere della stessa lunghezza e le aree di tutte le facce del cubo uguali.

Puoi ottenere l'aspetto senza la matematica posizionando un foglio di carta millimetrata isometrica sotto la tua normale carta da disegno.

Lo stesso vale in questo caso: una scena 3D può essere visualizzata da una prospettiva isometrica.

Per iniziare, la telecamera deve essere a livello del suolo e parallela agli assi delle coordinate, viene prima ruotata orizzontalmente (attorno all'asse verticale) di ±45°, poi di 35,264° attorno all'asse orizzontale.

La proiezione isometrica può anche essere immaginata come una vista all'interno di un cubo, vista da uno degli angoli superiori e spostandosi verso la parete opposta, l'angolo inferiore.

L'asse x forma una diagonale destra-giù, l'asse y scende verso il basso e a sinistra su una diagonale e verticalmente verso l'alto lungo l'asse z.

L'altezza sull'immagine funge anche da indicatore di profondità.

Le linee tracciate lungo gli assi sono a 120° l'una rispetto all'altra.

Una fotocamera con queste caratteristiche richiederebbe un obiettivo telecentrico nello spazio oggetto, proprio come farebbe per qualsiasi proiezione assonometrica o ortogonale, per garantire che le lunghezze proiettate rimangano costanti mentre l'osservatore si allontana dalla telecamera.

Il termine isometrico è spesso usato in modo errato per descrivere le proiezioni assonometriche. Tuttavia, ci sono in realtà tre distinte proiezioni assonometriche: obliqua, dimetrica e isometrica.

La proiezione isometrica richiede due viste, una dall'alto e una dal basso, Considerando quanto possa sembrare contraddittorio il valore della seconda, merita qualche chiarimento.

Immaginiamo prima un cubo con lati di lunghezza 2 e centrato sul punto in cui gli assi si incontrano, il che significa che ciascuna delle sue facce ha un'intersezione dell'asse esattamente 1 unità dall'origine.

Possiamo calcolare la lunghezza della linea dal suo centro al centro di qualsiasi spigolo come √2 usando il teorema di Pitagora .

Ruotando il cubo di 45° sull'  asse x, per enfatizzare (1, 1, Di conseguenza, (1) diventa (1), 0, √2) come illustrato nel diagramma.

La seconda rotazione ha lo scopo di portare lo stesso punto sull' asse z positivo e quindi deve eseguire una rotazione di valore pari all'arcotangente di ¹⁄√² che è di circa 35.264°.

Una prospettiva isometrica può essere ottenuta da una delle otto diverse angolazioni, a seconda della direzione dell'ottante dell'osservatore.

La trasformazione isometrica da un punto ax,y,z nello spazio 3D a un punto bx,y nello spazio 2D guardando nel primo ottante può essere scritta matematicamente con matrici di rotazione come:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}

dove α = arcsin(tan 30°) ≈ 35.264° e β = 45°.

Come accennato in precedenza, si tratta di una rotazione attorno all'asse verticale (qui y) di β, seguita da una rotazione attorno all'asse orizzontale (qui x) di α.

Il passo successivo è una proiezione ortogonale del piano xy:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}

Ruotando sui lati opposti e quindi invertendo l'orientamento della vista, otteniamo le altre sette scelte.

Il concetto di isometria esisteva da secoli in una forma empirica di base fino a quando non fu definito dal professor William Farish (1759-1837).

La proiezione isometrica, come tutte le proiezioni parallele, fa sì che gli oggetti abbiano le stesse dimensioni sia che si trovino vicini che lontani dallo spettatore. Se da un lato questo è utile per i progetti architettonici in cui è necessario raccogliere misurazioni precise, dall'altro crea un'illusione di distorsione perché la vista umana e la fotografia normalmente non funzionano in questo modo. Come mostrato a destra o sopra, può anche portare a circostanze in cui giudicare la profondità e l'altitudine è difficile. Le Penrose Stairs sono un esempio di una forma apparentemente contraddittoria o impossibile che può derivare da questo.

La grafica isometrica, nota anche come grafica a proiezione parallela, è comunemente usata nei videogiochi e nella pixel art, invece di guardare verso il basso o di lato, il punto di vista è inclinato per mostrare dettagli nell'ambiente che altrimenti sarebbero nascosti, creando un'illusione di profondità in tre dimensioni.

Nonostante l'etichetta, Tuttavia, non tutte le computer grafiche isometriche utilizzano effettivamente un punto di vista isometrico, gli assi x, y e z non sono necessariamente orientati di 120° l'uno rispetto all'altro.

Vengono invece considerate diverse prospettive, in genere viene utilizzata una proiezione dimetrica con un rapporto di pixel di 2:1.

I termini prospettiva 3⁄4, vista ³⁄⁴, 2.5D, pseudo 3D e pseudo 2D sono anche sinonimi comuni, anche se ci possono essere alcune sottili differenze di interpretazione a seconda della situazione.

Con l'ascesa di tecnologie grafiche 3D più capaci e il passaggio a giochi incentrati sull'azione e sui personaggi distintivi, la proiezione isometrica è diventata sempre più rara.

{Fine Capitolo 1}

Capitolo 2: Proiezione ortogonale

La proiezione ortogonale (anche proiezione ortogonale e analemma) provoca la trasformazione affine di ciascun piano dell'immagine sulla superficie di visualizzazione. In una proiezione obliqua, le linee di proiezione non sono ortogonali al piano di proiezione.

Nella proiezione multivista, l'ortogonale può riferirsi a una tecnica in cui gli assi o i piani principali del soggetto sono paralleli al piano di proiezione per creare le viste primarie. Se i piani o gli assi principali di un oggetto in una proiezione ortogonale non sono paralleli al piano di proiezione, la rappresentazione è assonometrica o ausiliaria. (Proiezione assonometrica e proiezione parallela sono sinonimi.) Le piante, i prospetti e le sezioni sono sottotipi delle viste primarie; Le proiezioni isometriche, dimetriche e trimetriche sono sottotipi di viste ausiliarie.

Una lente telecentrica che fornisce una proiezione ortogonale è una lente oggetto-spazio.

La seguente matrice definisce una proiezione ortogonale diretta sul piano z = 0:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

Per ogni punto v = (vx, vy, vz), il punto convertito Pv sarebbe

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix}

Spesso, è più vantaggioso utilizzare coordinate omogenee. Per coordinate omogenee, la trasformazione di cui sopra può essere espressa come

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Per ogni vettore omogeneo v = (vx, vy, vz, 1), il vettore Pv dopo la trasformazione sarebbe

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Nella computer grafica, una delle matrici più frequentemente utilizzate per la proiezione ortogonale è specificata dalla tupla a 6 (sinistra, destra, basso, alto, vicino, lontano), che specifica i piani di ritaglio. Questi piani creano un riquadro con l'angolo più piccolo in corrispondenza di (a sinistra, in basso, -vicino) e l'angolo più grande in corrispondenza di (a destra, in alto, -lontano) (a destra, in alto, -lontano).

La scatola viene quindi scalata al cubo unitario, che è definito come avente il suo angolo minimo in (1,1,1) e il suo angolo più grande in (1,1,1). (1,1,1).

La seguente matrice rappresenta la trasformazione ortogonale:

{\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Questo può essere espresso come una scala S seguita da una traslazione T secondo la forma

{\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

L'inversione della matrice di proiezione P−1, può essere impiegata come matrice di non proiezione:

{\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

La proiezione isometrica, la proiezione dimetrica e la proiezione trimetrica sono tre sottotipi di proiezione ortogonale, a seconda dell'angolo esatto con cui la vista si discosta dall'ortogonale. Nei disegni assonometrici, come in altre forme di diagrammi, un asse dello spazio è tipicamente raffigurato come verticale.

Nella vista isometrica, il tipo più diffuso di proiezione assonometrica utilizzata nei disegni tecnici, la direzione della visione è tale che tutti e tre gli assi dello spazio sembrano essere proporzionalmente compressi e c'è un angolo comune di 120° tra di loro.

Poiché la distorsione indotta dallo scorcio è uniforme, le proporzioni tra le lunghezze vengono mantenute e gli assi hanno la stessa scala; Ciò facilita l'acquisizione di misure dirette dal disegno.

Un altro vantaggio è che gli angoli di 120° sono facilmente costruibili utilizzando solo un compasso e una riga.

Nella proiezione dimetrica, la direzione di visione è tale che due dei tre assi dello spazio sembrano ugualmente compressi, con la scala e gli angoli di presentazione che ne derivano impostati dall'angolo di visione; La scala della terza direzione è determinata individualmente. I disegni dimetrici contengono in genere approssimazioni di quote.

Nella proiezione trimetrica, la direzione di visualizzazione è tale che i tre assi dello spazio appaiono compressi in modo disuguale. La scala lungo ciascuno dei tre assi e gli angoli tra di essi sono determinati in modo indipendente in base all'angolo di visione. Nei disegni trimetrici, le approssimazioni di quotatura sono comuni, anche se la prospettiva trimetrica è raramente impiegata nei disegni tecnici.

La proiezione multivista produce fino a sei immagini di un oggetto, note come viste primarie, con ciascun piano di proiezione parallelo a uno degli assi delle coordinate dell'oggetto. Il posizionamento relativo delle viste è determinato da uno dei due schemi: proiezione del primo angolo o del terzo angolo. Gli aspetti delle viste vengono proiettati su piani che formano un riquadro a sei lati attorno all'oggetto. Sebbene sia possibile disegnare sei lati diversi, tre viste di un disegno forniscono informazioni sufficienti per creare un oggetto tridimensionale. Queste prospettive sono denominate vista frontale, vista dall'alto e vista finale. Queste prospettive sono note anche come pianta, prospetto