L’equazione più bella della finanza

Di Marco Clemente

È questo un volume che ci presenta un argomento molto specifico come se fosse un racconto a cui tutti, anche i meno esperti, possono appassionarsi. 
Si parte dalle intuizioni di isolati pionieri, fra cui il misconosciuto Louis Bachelier, per passare ai risultati rivoluzionari di alcuni tra i migliori matematici e fisici a livello mondiale, i quali hanno fornito i mezzi necessari agli economisti americani del dopoguerra per risolvere un problema divenuto impellente: dare una valutazione, su basi razionali, al rischio finanziario insito negli strumenti “derivati”. Il terzetto composto da Black, Scholes e Merton ci riuscirà nel 1973 e la formula da loro ideata non ha più cessato – anche a distanza di 50 anni − di assolvere il suo compito. Anzi, è andata ben oltre, poiché, fatto rarissimo, ha finito col piegare la realtà alle sue previsioni teoriche.
È lo stesso autore a rassicurare il lettore “poco avvezzo ai metodi della matematica e della finanza di non scoraggiarsi davanti alla difficoltà di comprendere immediatamente alcuni passaggi”.
Pagina dopo pagina infatti vi scoprirete a capire a poco a poco concetti che fino a qualche giorno prima dichiaravate di non comprendere assolutamente. Anche questo è il pregio del testo che, rivolgendosi chiaramente a tutti coloro che ben si muovono nel mondo della finanza, vuole però arrivare a una più ampia fetta di persone, perché tutti, prima o poi, abbiamo desiderato addentrarci in questa materia che in fondo contiene i segreti che regolano la società moderna.

• Lingua: Italiano
• Editore: Gruppo Albatros Il Filo
• Data di uscita: 30 nov 2022
• ISBN: 9788830673663

Anteprima del libro

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Marco Clemente

L’equazione più bella

della finanza

Da Louis Bachelier alla formula di Black e Scholes

© 2022 Gruppo Albatros Il Filo S.r.l., Roma

www.gruppoalbatros.com - [e-mail]

ISBN 978-88-306-6823-2

I edizione novembre 2022

Finito di stampare nel mese di novembre 2022

presso Rotomail Italia S.p.A. - Vignate (MI)

Distribuzione per le librerie Messaggerie Libri Spa

L’equazione più bella della finanza

Da Louis Bachelier alla formula di Black e Scholes

A mio padre, che non si è mai arreso

ad accettare le leggi del caso.

A mio figlio, che da soli 3 anni si confronta

con le incertezze della vita.

Nuove Voci

Prefazione di Barbara Alberti

Il prof. Robin Ian Dunbar, antropologo inglese, si è scomodato a fare una ricerca su quanti amici possa davvero contare un essere umano. Il numero è risultato molto molto limitato. Ma il professore ha dimenticato i libri, limitati solo dalla durata della vita umana.

È lui l’unico amante, il libro. L’unico confidente che non tradisce, né abbandona. Mi disse un amico, lettore instancabile: Avrò tutte le vite che riuscirò a leggere. Sarò tutti i personaggi che vorrò essere.

Il libro offre due beni contrastanti, che in esso si fondono: ci trovi te stesso e insieme una tregua dall’identità. Meglio di tutti l’ha detto Emily Dickinson nei suoi versi più famosi

Non esiste un vascello come un libro

per portarci in terre lontane

né corsieri come una pagina

di poesia che s’impenna.

Questa traversata la può fare anche un povero,

tanto è frugale il carro dell’anima

(Trad. Ginevra Bompiani).

A volte, in preda a sentimenti non condivisi ti chiedi se sei pazzo, trovi futili e colpevoli le tue visioni che non assurgono alla dignità di fatto, e non osi confessarle a nessuno, tanto ti sembrano assurde.

Ma un giorno puoi ritrovarle in un romanzo. Qualcun altro si è confessato per te, magari in un tempo lontano. Solo, a tu per tu con la pagina, hai il diritto di essere totale. Il libro è il più soave grimaldello per entrare nella realtà. È la traduzione di un sogno.

Ai miei tempi, da adolescenti eravamo costretti a leggere di nascosto, per la maggior parte i libri di casa erano severamente vietati ai ragazzi. Shakespeare per primo, perfino Fogazzaro era sospetto, Ovidio poi da punizione corporale. Erano permessi solo Collodi, lo Struwwelpeter, il London canino e le vite dei santi.

Una vigilia di Natale mio cugino fu beccato in soffitta, rintanato a leggere in segreto il più proibito fra i proibiti, L’amante di lady Chatterly. Con ignominia fu escluso dai regali e dal cenone. Lo incontrai in corridoio per nulla mortificato, anzi tutto spavaldo, e un po’ più grosso del solito. Aprì la giacca, dentro aveva nascosto i 4 volumi di Guerra e pace, e mi disse: Che me ne frega, a me del cenone. Io, quest’anno, faccio il Natale dai Rostov.

Sono amici pazienti, i libri, ci aspettano in piedi, di schiena negli scaffali tutta la vita, sono capaci di aspettare all’infinito che tu li prenda in mano. Ognuno di noi ama i suoi scrittori come parenti, ma anche alcuni traduttori, o autori di prefazioni che ci iniziano al mistero di un’altra lingua, di un altro mondo.

Certe voci ci definiscono quanto quelle con cui parliamo ogni giorno, se non di più. E non ci bastano mai. Quando se ne aggiungono altre è un dono inatteso da non lasciarsi sfuggire.

Questo è l’animo col quale Albatros ci offre la sua collana Nuove voci, una selezione di nuovi autori italiani, punto di riferimento per il lettore navigante, un braccio legato all’albero maestro per via delle sirene, l’altro sopra gli occhi a godersi la vastità dell’orizzonte. L’editore, che è l’artefice del viaggio, vi propone la collana di scrittori emergenti più premiata dell’editoria italiana. E se non credete ai premi potete credere ai lettori, grazie ai quali la collana è fra le più vendute. Nel mare delle parole scritte per esser lette, ci incontreremo di nuovo con altri ricordi, altre rotte. Altre voci, altre stanze.

Introduzione

Qual è la probabilità che un articolo degno del premio Nobel venga rifiutato da due diversi editori? Se fossimo costretti a rispondere a questa domanda, attribuiremmo a tale probabilità un valore piuttosto basso, seppure difficilmente quantificabile. Questo è il classico problema per cui la statistica, quale scienza del caso, non ha molti appigli per dare una forma matematica all’incertezza. La valutazione non può che essere soggettiva, sebbene sarebbe possibile, in teoria, calcolare la percentuale di articoli degni del Nobel che non sono stati effettivamente pubblicati e poi, tra questi, determinare la percentuale di quelli rifiutati per la seconda volta. In più servirebbe verificare se tra il primo rifiuto ed il secondo esiste una correlazione oppure si tratta di eventi indipendenti. Forse è meglio rinunciare al calcolo, invocando la relativa scarsa numerosità dei casi oggetto di esame.

Fatto sta che nel 1973 Fischer Black e Myron Scholes si videro rifiutare la pubblicazione della loro formula esatta per il prezzo delle opzioni finanziarie sia dal Journal of Political Economy che dalla Review of Economics and Statistics. Convinti della validità del loro lavoro, tuttavia, i due professori non si persero affatto d’animo e dopo aver rivisto il testo alla luce dei commenti di colleghi ben più rinomati quali Merton Miller ed Eugene Fama rimandarono l’articolo al Journal of Political Economy che questa volta diede finalmente l’imprimatur all’articolo scientifico. Da quel giorno di 50 anni fa, la finanza non fu più la stessa.

Anno 2021: Facebook ha raggiunto i 2,8 miliardi di utenti mensilmente attivi. Le azioni della società che gestisce il social network più famoso del mondo sono quotate a Wall Street ed hanno superato la capitalizzazione complessiva di 1.000 miliardi di dollari: un trilione. Sono numeri quasi fantastici, da Paperon de Paperoni! Le aziende che possono vantarsi di valere così tanto si contano sulle dita di una mano. Il vero record è però rappresentato dalla velocità con la quale il business è cresciuto, da quando un giovane studente di Harvard di nome Mark Zuckerberg, il 4 febbraio del 2004, mise in rete il sito thefacebook.com.

Ovviamente, anch’io mi sono iscritto a FB. Ormai è considerato un sito serio, ben più frequentato da adulti convertitisi da poco all’informatica che da ragazzini in preda agli entusiasmi dell’età adolescenziale. Tra gli altri, mi sono inserito nel gruppo Facebook dal nome Economia & Investimenti finanziari, visto che la finanza rientra da almeno 30 anni nei miei interessi. Per un certo periodo ho anche lavorato presso l’autorità italiana che si occupa del controllo sulla Borsa, la CONSOB (Commissione Nazionale per le Società e la Borsa), più precisamente nell’Ufficio Insider Trading. La mia carriera professionale ha poi preso una strada differente ma la passione per gli investimenti finanziari non mi ha mai abbandonato.

Ebbene, frequentando il gruppo FB di cui vi ho parlato, ho avuto modo di discutere, da dietro il rassicurante monitor del mio PC di casa, con molte persone che avevano i miei stessi interessi. A prescindere dal livello di esperienza sui mercati e dalla cultura finanziaria dei miei interlocutori, sono fermamente convinto che il confronto fra opinioni diverse porti sempre un accrescimento personale. Anche quando le discussioni sfiorano la banalità o diventano troppo animate, ai limiti della polemica, è possibile trarre indicazioni molto realistiche sulle più profonde convinzioni che influenzano le scelte di investimento personali.

L’elemento più interessante dei rapporti intermediati dalla rete Internet è che gli individui si sentono liberi di esprimere pienamente le loro opinioni, anche quelle che non oserebbero mai esprimere in altri contesti pubblici. Ad esempio, i più intimi sentimenti di esaltazione provati a fronte di operazioni finanziarie finite bene e quelli di depressione a seguito di colpi sbagliati pare non siano filtrati dal comune senso del pudore, come normalmente accade. Il clima che si crea, per dirla con le parole di un cinquantenne quale mi trovo ad essere, è quello del bar di altri tempi, frequentato da amici di vecchia data. L’ironia sferzante per gli errori altrui, i te l’avevo detto, l’invidia o l’incredulità nei confronti di affermazioni su vincite eccezionali diventano tutte delle componenti fondamentali che mantengono i discorsi vivi e vibranti.

Non si deve pensare, tuttavia, che a causa del clima informale che si crea sui social il livello delle discussioni sia sempre di basso profilo. Tra le migliaia di iscritti, si conta non di rado qualcuno che possiede una preparazione tecnica ben superiore al comune. Le discussioni più animate spesso riguardano i segnali di analisi tecnica, ovvero l’interpretazione (quasi sciamanica) dei grafici degli strumenti finanziari, al fine di prevedere i futuri andamenti.

Per paradosso, devo però ammettere che gli stimoli intellettuali più acuti mi sono stati suggeriti dai confronti, anche serrati, con investitori che non conoscevano le teorie accademiche della finanza. Numerosi studi, purtroppo, indicano che il livello medio di cultura finanziaria in Italia è decisamente scarso. Senza scendere del dettaglio delle motivazioni storiche di questa realtà, basti riflettere sul dato che i titoli del debito pubblico italiano hanno da sempre fatto la parte del leone nella composizione dei portafogli degli italiani. Anche le istituzioni scolastiche non hanno invero contribuito molto, a mio parere, ad innalzare il livello medio della cultura finanziaria, la quale è tipicamente esclusa dai programmi di studio degli istituti secondari.

Spesso, quando ho introdotto nel gruppo Facebook degli argomenti tratti dai metodi della finanza quantitativa, in primis connessi alla modellizzazione del prezzo dei titoli azionari in base a processi casuali, mi sono state sollevate pesanti critiche da parte di interlocutori che non avevano alcuna conoscenza tecnica in merito e che manifestavano evidente sconcerto. Termini quali volatilità, "random walk, rendimento atteso" erano semplicemente ignoti ai più. Eppure si tratta di un gruppo di persone specificamente interessate agli investimenti, non di un gruppo di soggetti qualsiasi! Alcuni affermano addirittura di investire, normalmente, in strumenti finanziari complessi, quali i certificates o alcuni altri derivati messi a disposizione da società di brokeraggio online.

Avendo avuto in passato esperienze nel campo della consulenza finanziaria, ho avuto modo di confrontarmi con molte situazioni personali in cui emergevano atteggiamenti psicologici fondamentalmente errati. La finanza comportamentale e la psicologia applicata alle scelte di investimento hanno da tempo messo in luce alcuni tipici bias cognitivi: si tratta di distorsioni che impediscono agli esseri umani di prendere decisioni razionali e che, pertanto, conducono spesso verso errori anche gravi che sarebbero evitabili a mezzo di un maggior livello di consapevolezza. La letteratura scientifica ha individuato e precisato numerosi bias: essi sono legati ad un naturale processo euristico, per il quale la nostra mente, posta di fronte a scelte complesse, tende a cercare delle facili soluzioni e ad utilizzare veloci scorciatoie. Ciò, si badi bene, è assolutamente fisiologico, ovvero non si tratta certo di problemi mentali o di tendenze caratteriali, sul genere dell’avidità, dell’avarizia, dell’eccessiva prudenza, ecc. Le soluzioni euristiche sono in effetti molto utili per fronteggiare situazioni di emergenza. Non si parla di semplice istinto ma di una precisa facoltà della nostra mente di decidere per il meglio, scremando la miriade di informazioni ricevute dall’esterno.

La complessità delle scelte spesso è connessa alla presenza di incertezza. Per fare un esempio, se mentre viaggiamo in autostrada troviamo che si è formata una coda e che il traffico si è bloccato, dobbiamo valutare in breve tempo se è il caso di mettersi in fila ed attendere che la stessa si smaltisca da sola o se è meglio uscire al primo casello disponibile e percorrere una strada secondaria. Dal punto di vista razionale, sarebbe corretto assumere tutte le informazioni rilevanti: cercare di conoscere i motivi della fila, la sua lunghezza effettiva, la distanza del prossimo casello ed anche ottenere informazioni precise circa l’alternativa della strada secondaria, quali la sua scorrevolezza, la presenza di tortuosità e di centri abitati da attraversare, e così via. In un caso come quello descritto, è invece molto probabile che il guidatore si affidi, euristicamente, soprattutto alla sua esperienza passata. Se in situazioni analoghe ha ottenuto dei benefici dall’uscire al primo casello disponibile sceglierà la via alternativa, altrimenti, aspetterà in coda.

Il paradosso, in termini di pura razionalità, è che maggiore è l’incertezza sui dati reali e maggiore sarà l’affidamento ai risultati passati. L’urgenza della scelta porta a cercare disperatamente degli appigli, anche in eventi passati le cui cause sono molto differenti da quelle del problema attuale. Ho conosciuto personalmente delle persone che, avendo provato sulla loro pelle gli effetti dell’inflazione di guerra degli anni 1943-1946, per tutta la loro vita hanno scelto di investire solo sul mattone e di non voler nemmeno lontanamente sapere di altre opportunità oggettivamente più profittevoli.

Su tali premesse mi sono accinto a metter mano al presente scritto che, pur avendo come oggetto principale il tema del pricing delle opzioni finanziarie, ha in realtà finalità molto più estese. Lungi da me l’idea di proporre una specie di manuale di finanza per dummies, la mia vera pretesa, se così si può chiamare, è quella di scrivere un saggio fortemente interdisciplinare nel quale lettori di diversa estrazione culturale possano trovare degli stimoli di riflessione. I risultati della finanza quantitativa sono ovviamente espressi con linguaggio estremamente specialistico e di ardua accessibilità per chi non ha solide basi matematiche ed economiche. Per altro verso, la scelta di trattare le formule in modo esclusivamente discorsivo non mi pare vincente, poiché non dà conto della ricchezza delle idee, anche filosofiche, che stanno dietro alle singole espressioni matematiche di cui le formule sono composte.

Una certa propensione verso la quantità e verso le relazioni tra quantità è senz’altro richiesta al lettore e sarebbe assurdo negarlo. Tuttavia, come si svilupperà pagina dopo pagina, il fil rouge che intende legare tutti gli argomenti trattati in questo libro è rappresentato da un percorso a tappe il cui scopo ultimo non è tanto quello di saper maneggiare la formula di Black e Scholes, quanto quello di essere in grado di apprezzare il profondo significato di quel risultato. Essa è la sintesi di secoli di sforzi, compiuti da menti geniali, per dare una risposta ai problemi teorici e pratici che pone il fenomeno dell’incertezza.

Non sono poi molte le equazioni che hanno cambiato il corso della Storia. Ian Stewart, matematico ed autore di In pursuit of the unknown: 17 equations that changed the world (2013), ne ha individuate diciassette e fra di esse compare sia la curva di Gauss che la formula di Black e Scholes per il prezzo delle opzioni finanziarie. L’occasione del cinquantenario della formula di Black e Scholes, che cadrà proprio nel 2023, ha certamente rappresentato per me uno stimolo ulteriore nel voler rendere omaggio al lavoro di questi due protagonisti della finanza, ai quali, come vedremo, si deve per forza aggiungere anche il nome di Robert Merton.

Se è vero che la cultura scientifica è cultura di serie A, come spero che molti lettori siano profondamente convinti (per buona pace di Giovanni Gentile), ne deriva che saper spiegare al grande pubblico una formula così rilevante è un atto a dir poco necessario. Non si tratta della spiegazione formalmente rigorosa che ne può (ne deve) essere fatta nell’ambito di un corso di livello universitario, ma si tratta della spiegazione – intesa letteralmente come dispiegazione, svolgimento – circa la natura e la storia delle sue componenti simboliche. Il lettore potrà così notare che nel processo di dispiegamento, così inteso, verranno toccati in modo semplice e quasi spontaneo argomenti molto diversi tra loro che, si spera, possano attirare l’attenzione di persone mediamente curiose.

Queste in definitiva sono le pretese o, meglio, le aspirazioni di questo libro. Se poi siamo stati in grado di soddisfare concretamente le aspettative dei lettori e fino a che punto, non spetta certo a noi dirlo: confidiamo in tutto e per tutto nella vostra benevolenza. Buona lettura!

25 ottobre 2022

NOTE: Consigliamo al lettore poco avvezzo ai metodi della matematica e della finanza di non scoraggiarsi davanti alla difficoltà di comprendere immediatamente alcuni passaggi. La narrazione si basa su un’escalation di concetti e di esempi che si è cercato di mantenere il più possibile progressiva. In appendice si riportano alcune definizioni che, sebbene espresse in modo poco formale, possono aiutare ad avere un’idea più precisa di strumenti matematici non banali. Seguire esattamente tutti i passaggi formali non vuole essere essenziale, poiché il fine ultimo che ci siamo proposti resta principalmente quello di fornire degli spunti di riflessione. La rete Internet è ricchissima di approfondimenti e quindi il lettore interessato a certi argomenti specifici non avrà troppa difficoltà a trovare risposte soddisfacenti, pur avendo l’onere (non da poco) di dover navigare in un oceano di contributi. Per facilitare il compito, si è ritenuto opportuno indicare in grassetto i termini specialistici più rilevanti, che meritano senz’altro di essere approfonditi in altre sedi e con strumenti più idonei.

Infine, se certi esempi numerici vi appariranno tediosi, non fatevi scrupoli a passare oltre. Sono stati inseriti semplicemente per facilitare la comprensione di concetti astratti che potrebbero non esservi chiari. Per esperienza diretta, i numeri riescono a volte a spiegare molto meglio delle parole e, inoltre, hanno il grande pregio di infondere certezza… anche nei calcoli che riguardano l’incertezza. Per par condicio, ci scusiamo fin da subito coi lettori che più amano la storia in generale e la storia della scienza in particolare per le eventuali imprecisioni riguardanti la vita e le opere dei protagonisti. Pur cercando di essere fedeli ai fatti ed alle date potremmo essere incorsi in eccessive semplificazioni o in interpretazioni soggettive, se non anche in veri e propri errori, per i quali, s’intende, solo l’autore deve essere ritenuto responsabile a tutti gli effetti.

Colgo l’occasione per ringraziare Anna Elia, che ha creduto per prima in questo progetto editoriale e Katia Caddeo, per la sua preziosa opera di revisione del testo. Un riconoscimento di consolidata gratitudine lo meritano senz’altro i miei maestri, che con entusiasmo hanno gettato tanti semi di conoscenza e di curiosità nel mio terreno. Sono grato anche agli amici del gruppo Economia & Investimenti finanziari e a mia moglie, per il tempo che le ho sottratto. Ricordo infine coloro che, a loro insaputa, hanno permesso che mi dedicassi appieno alla stesura di questo saggio d’esordio: immotus nec iners.

I

La legge che domina il mercato

Quando Louis Bachelier (1870-1946) discuteva alla Sorbona la sua tesi di dottorato intitolata Théorie de la Spéculation correva l’anno 1900 ed il nuovo secolo dischiudeva al mondo intero le magnifiche sorti e progressive come mai era successo prima. La Prima Guerra Mondiale avrebbe infranto molte speranze ma in quell’esordio di XX secolo pareva proprio che non esistessero limiti alla potenza del pensiero scientifico. L’analisi matematica veniva applicata con impressionante maestria ai problemi dell’economia, esattamente come era stata applicata a miriadi di altre questioni che interessavano i più disparati campi del sapere. Tra i presenti alla discussione della tesi di Bachelier compariva anche il grande matematico Henri Poincaré (1854-1912) che di lì a poco, nel 1904, avrebbe introdotto una congettura nel campo della topologia la cui soluzione ha tenuto impegnati i suoi colleghi per tutto il Novecento (si tratta della congettura di Poincaré, risolta solo nel 2002 dal russo Grigorij Perel’man). Notevolissimi sono stati i contributi del francese Poincaré alla fisica teorica, tanto da essere fondamentali per i lavori rivoluzionari di Albert Einstein sulla teoria della relatività.

Per rendersi conto con mano dei risultati ottenuti da Bachelier si deve consultare la serie 3, tomo 17, degli Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieur (febbraio 1900) ove il suo contributo occupa le pagine 21-86. Già dall’introduzione si capisce che l’autore punta molto in alto, pur essendo conscio dell’impossibilità di prevedere i corsi futuri di Borsa:

le Calcul des probabilités ne pourra sans doute jamais s’appliquer aux mouvements de la cote [quotazione] et la dynamique de la Bourse ne sera jamais une science exacte. Mais il est possible d’étudier mathématiquement l’état statique du marché à un instant donné, c’est-à-dire d’établir la loi de probabilité des variations de cours qu’admet à cet instant le marché. Si le marché, en effet, ne prévoit pas les mouvements, il les considère comme étant plus ou moin probables, et cette probabilité peut s’évaluer mathématiquement.

Le ambizioni positivistiche di Bachelier lo conducono a non accontentarsi di descrivere a parole la legge che regola il mercato; tale legge, per essere scientifica e verificabile, deve tradursi in un’espressione matematica: la recherche d’une formule qui l’exprime [la legge] ne parait pas jusqu’à ce jour avoir été publiée; elle sera l’objet de ce travail. Ma qual è la formula che spiega la Borsa? Bachelier pone dei punti fermi, dei vincoli, che in effetti sono molto interessanti e che denotano anche una conoscenza ravvicinata dei meccanismi e degli strumenti del mercato finanziario agli inizi del Novecento. Per portare avanti i suoi studi, il matematico frequentò infatti la Borsa di Parigi, a quei tempi tra i mercati finanziari più attivi a livello mondiale.

Se l’economia delle opzioni era già stata trattata in precedenza da autori quali Charles Castelli, un broker che nel 1877 pubblicò a Londra The Theory of Options in Stocks and Shares, nessuno si era mai spinto a proporre una teoria dei prezzi di tipo analitico.

Quantificare la nervosità del mercato

Il primo assioma che introduce Bachelier rappresenta un’osservazione per niente banale, anche ai giorni nostri:

le marché ne croit, à un instant donne, ni à la hausse, ni à la baisse du cours vrai.

Ne consegue che:

l’espérance mathématique du spéculateur est nulle.

In altri termini, nel momento esatto in cui effettua un’operazione di Borsa, sia in acquisto che in vendita, l’investitore non sa se ne deriverà un’utile o una perdita. In media, il risultato atteso è pari a un profitto nullo. Il prezzo di scambio è, infatti, un prezzo equo, nel senso che non reca vantaggi statisticamente prevedibili né al compratore, né al venditore.

Questa semplice idea, anche oggi, appare per certi versi controintuitiva. In fin dei conti, quando un risparmiatore decide di acquistare un’azione lo fa perché ritiene che il suo prezzo crescerà nel tempo. Se ciò ci pare naturale, forse non abbiamo riflettuto a sufficienza sul fatto che chi ci vende il titolo ha speranze esattamente contrapposte alle nostre. Nell’ottica del venditore, probabilmente il prezzo dell’azione scenderà e secondo lui è una buona decisione sbarazzarsene prima che tale eventualità si verifichi.

Si può ribattere che non è affatto strano che, come accade in tutti i settori, le persone abbiano dei giudizi e delle aspettative differenti. D’altra parte è anche vero che, in quanto esseri razionali, ci si attende che gli investitori agiscano concretamente sul mercato per ottenere dei profitti. Effettuando le loro compravendite gli investitori muovono il prezzo dei titoli verso un livello di equilibrio che, in un contesto di trasparenza delle transazioni, corrisponde proprio al prezzo di Borsa. In sostanza, tutti i giudizi e le speranze degli operatori sono già insiti nella quotazione, la quale esprime la media delle differenti opinioni.

Solo col trascorrere del tempo, si potranno distinguere con certezza i vincitori dai vinti, ovvero si potrà osservare se sia stato l’acquirente ad avere ben speculato oppure sia stato il venditore quello che ha concluso un buon affare. Quando Bachelier sostiene che la speranza matematica di uno speculatore è nulla, introduce un concetto per niente scontato, oltre che un assioma molto utile per la definizione della sua formula per la valutazione dei contratti a premio, quelli che oggi si chiamano opzioni finanziarie.

Vediamo un altro assioma alla base della costruzione di Bachelier. Qui entriamo un po’ nel tecnicismo. Una funzione è una relazione esprimibile in linguaggio matematico che lega una variabile indipendente ad un risultato che dipende da essa. Ad esempio, la velocità media con cui un atleta percorre i 100 metri piani è una funzione del tempo impiegato. In km/h si può scrivere:

velocità media = 360/secondi impiegati

Se l’atleta è un campione ed il cronometro si ferma a 10’’ netti, la velocità media è stata pari a 36,0 km/h. Un atleta mediocre che impiega 14’’ per tagliare il traguardo ha invece viaggiato a circa 25,7 km/h. Possiamo dunque affermare, in modo formalmente esatto, che v = 360/t, ovvero che la velocità media in km/h è una funzione (inversa) del tempo. La forma di questa funzione è quella di una curva con pendenza negativa che a sinistra arriva da +∞ (per t che tende a zero) ed a destra va verso lo zero (per t che tende a +∞). Nulla vieta che una funzione sia espressa utilizzando più di una variabile indipendente: il numero di variabili a cui è associato il risultato dipende dalla complessità del problema che si vuole studiare.

Ciò premesso torniamo a Bachelier, il quale introduce un collegamento di tipo funzionale tra il livello di prezzo di un titolo (il corso di Borsa) e la probabilità che quel prezzo si verifichi:

la probabilité pour que le cours [il corso] Y soit coté à une époque donnée est une fonction de Y.

Si assume dunque che la probabilità da associare all’evento prezzo = Y sia esprimibile come una funzione di Y. In altre parole è il prezzo stesso a determinare quale sia la probabilità della sua manifestazione e non serve introdurre altre variabili indipendenti. Questo è un passaggio molto importante poiché anticipa di molti decenni gli studi della finanza sull’efficienza dei mercati finanziari e l’assioma per cui il prezzo di un titolo incorpora in sé stesso tutte le informazioni disponibili, comprese le attese circa la sua futura variabilità.

Per cercare di dar forma a questa teorica funzione di probabilità, Bachelier osserva:

il est évident que le cours considéré par le marché le plus probable est le cours vrai actuel.

Il prezzo di mercato, insomma, è il prezzo per il quale la funzione di probabilità deve raggiungere il massimo valore, poiché è il prezzo più probabile. L’affermazione può sembrare tautologica ma, ad una lettura più approfondita, mette in evidenza come il valore della quotazione di Borsa di un titolo funga da spartiacque tra la massa di probabilità di ottenere profitti e quella di subire perdite (tecnicamente, si tratta dell’integrale della funzione di densità della probabilità). Per quanto affermato circa la posizione simmetrica, sul mercato, di acquirenti e venditori, anche la funzione di probabilità ricercata avrà una forma simmetrica, con Y0, il prezzo attuale di Borsa, che si pone come asse di simmetria della probabilità.

Con più di mezzo secolo di anticipo sui risultati della moderna finanza, consolidatisi dagli anni Sessanta del Novecento, Bachelier ha interpretato la natura delle opzioni finanziarie (all’epoca chiamate operazioni a premio) individuando due componenti del rischio complessivo: la speranza positiva e la speranza negativa. Con le operazioni a premio, un operatore può scegliere se acquistare o meno il titolo ad una scadenza ed un prezzo prestabiliti. In altri termini, viene pagata una somma di denaro in cambio della sola speranza positiva, ovvero del valore atteso dei soli aumenti di prezzo, visto che, nel caso il prezzo del titolo scenda, sarà più conveniente acquistarlo al minor prezzo di mercato. La somma pagata rappresenta quindi il valore di equilibrio tra la speranza positiva e quella negativa del contratto, entrambe al netto del premio. Anche le speculazioni sulle operazioni a premio sono dunque da ritenersi delle scommesse eque in senso probabilistico. Citando direttamente l’autore:

l’espérance mathématique de l’acheteur de prime [del contratto a premio] est nulle.

Il grande merito di Bachelier è stato quello di non essersi fermato alle conclusioni generali che abbiamo riportato finora, le quali, oltretutto, non avrebbero potuto portarlo molto lontano. Con grande acume osservò infatti che, anche se il mercato non crede né al rialzo né al ribasso del prezzo futuro di un titolo, è anche vero che:

il peut supposer plus o moins probables des mouvements d’une certain amplitude.

È proprio partendo da questo concetto di base che una mente matematica brillante come quella di Bachelier ha potuto sviluppare dei precisi ragionamenti analitici, basati su quella amplitude dei movimenti di mercato che oggi chiamiamo volatilità. Così, se non è possibile determinare il prezzo futuro di un titolo, diventa possibile determinare la probabilità che il prezzo assuma col trascorrere del tempo valori più o meno differenti da quello presente.

Dopo alcune pagine fitte di calcoli, su cui sorvoliamo, Bachelier arriva finalmente ad esplicitare la sua formula per la probabilità del prezzo dei titoli (per la precisione, si riferiva alla Rendita 3%, cioè un’obbligazione perpetua emessa dallo Stato francese, con cedole trimestrali):

dove k è la suddetta amplitude e t è il tempo di riferimento per l’evoluzione del prezzo.

Con i parametri k e t prefissati, la funzione assume i connotati di una curva allora già molto conosciuta tra gli studiosi di statistica, la cui notorietà è da riferirsi soprattutto al lavoro del principe dei matematici, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Ad onor del vero, già il matematico Abraham de Moivre, amico di Isaac Newton, si era occupato nel secolo XVIII di dottrina degli azzardi, ossia della teoria della probabilità, ed era giunto alla curva che oggi è comunemente chiamata gaussiana o Normale.

Genio precoce, Carl Gauss ottenne nel corso della sua lunga vita dei risultati strepitosi sia nel campo della matematica che in altri settori, quali l’astronomia. Fu proprio effettuando calcoli astronomici che si trovò di fronte al problema degli errori di misurazione. Ripetendo le stesse misure i risultati differivano leggermente ogni volta: qual era dunque la misura corretta? Egli notò che gli scarti non si disperdevano attorno al valor medio in maniera uniforme ma con un andamento a campana. Ampi scarti dalla media erano meno probabili rispetto a scarti piccoli. Ideò pertanto una funzione che rappresentasse in modo accurato la dispersione degli errori, la quale aveva per forma generale la seguente espressione:

dove (x−μ) sono gli scarti dei dati dalla loro media, indicata con la lettera greca μ, mentre con la lettera è indicata la variabilità dei dati, connessa alla precisione dello strumento di misura adottato.

La formula di Bachelier che descrive la probabilità ha la stessa struttura analitica della curva di Gauss e ciò si vede ancor meglio nella versione standardizzata di quest’ultima ove, per convenzione, μ = 0 e = 1. In questo caso specifico, la gaussiana assume la forma:

dove p è la probabilità di osservare lo scarto x. Aver posto la costante = 1/radq(2π) permette di rendere la massa di probabilità (l’integrale della funzione valutato su tutto l’asse reale, da −∞ a +∞) pari al valore 1, come deve essere per le distribuzioni di probabilità. Ponendo la curva di Bachelier è identica alla gaussiana standard.

Poiché non è nostra intenzione allontanare sin da qui i lettori che non amano troppo le equazioni, non scenderemo in ulteriori dettagli. Basti per ora notare che si tratta di una funzione che, a prescindere dalle costanti in essa contenute, è basata sulla quantità che vede al centro il numero speciale e, pari a 2,71828… (trattandosi di un numero trascendente, i suoi decimali sono infiniti e, a loro volta, imprevedibili) il quale viene elevato a –x². L’elevazione al quadrato di x rende la forma della funzione simmetrica, poiché, ad esempio, (–1)² = +1 ed anche (+1)² = +1. La funzione ha una caratteristica forma a campana, con un solo massimo in x = 0 che rappresenta anche il suo asse di simmetria. Il numero e, chiamato numero di Eulero, ha una fondamentale importanza nell’ambito dell’Analisi matematica e nello studio delle equazioni differenziali.

Curiosa è la definizione più circostanziata che Bachelier dà del parametro k, denominato coefficient d’instabilité o, con espressione ancor meno scientifica, coefficient de nervosité de la valeur. Aggiunge l’autore:

sa tension indique un état d’inquiétude; sa faiblesse [debolezza] au contraire, est l’indice d’un état de calme.

Come accennato, questo coefficiente riveste un ruolo centrale nella teoria della speculazione di Bachelier, poiché rappresenta una misura della variabilità degli scarti di prezzo. Uno dei risultati analitici più importanti a cui giunge il matematico è proprio che il valore del contratto a premio, a, dipende da quanto il prezzo dell’azione è variabile e dal tempo rimanente alla scadenza, esattamente secondo questa formula:

a=k t

La spiegazione intuitiva è che il premio è tanto più grande quanto più è elevato il coefficient d’instabilité e quanto più tempo manca alla scadenza del contratto, in termini di radice quadrata di t.